§ 6. Движение несвободных систем

В предыдущем параграфе рассмотрено применение метода внешних форм к исследованию движения свободных механических систем, т. е. систем, движение которых характеризуется только заданными силами и начальными условиями Однако очень часто, кроме заданных сил, на систему накладываются еще дополнительные условия, ограничивающие свободу ее движения, которые называются связями, наложенными на механическую систему.

Для применения результатов, полученных для свободного движения, воспользуемся принципом освобождаемости от связей, который наиболее отчетливо впервые изложен у Лагранжа: каждое условное уравнение (т. е. уравнение связи) эквивалентно одной или нескольким силам, приложенным к системе по заданным направлениям. Лагранж подчеркивает, что эти силы могут заменить связи. Следует отметить, что принцип освобождаемости от связей в формулировке Лагранжа для однозначного решения задачи требует задания направления реакций связей, т. е. принцип

освобождаемости от связей неявно дополняется условием реализуемости связей, так как в зависимости от вида реализации связи выбирается заменяющая связь реакция. Для голономных систем общепринятым условием реализации является условие идеальности связей. Для неголономных систем условие реализации выбирается в зависимости от конкретных условий задачи.

Согласно принципу освобождаемости от связей, действие связи эквивалентно действию силы, приложенной к системе. Следовательно, освобожденная от связей система отличается от свободной (из которой она получена путем наложения связей) наличием дополнительной (по сравнению с исходной) системой сил. Значит форма соответствующая свободной системе, и соответствующая несвободной системе, отличаются друг от друга только наличием дополнительных членов в динамической части, а именно:

где — обобщенные силы реакций связей.

Форме соответствует характеристическое векторное поле Е. Так какй то и можно также представить как сумму где — характеристическое векторное поле, соответствующее реакциям связей.

Связи, наложенные на систему, определены посредством функций на многообразии расширенного фазового пространства Формы Пфаффа на интегральных кривых уравнений движения тождественно равны нулю. Следовательно, они принадлежат подпространству ассоциированных к форме форм. Необходимым и достаточным условием для этого является или

Уравнение (29) можно интерпретировать с двух точек зрения:

1. Если известны характеристические векторные поля Е и то (29) можно рассматривать как уравнение в частных производных первого порядка, определяющее Оно выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы были первыми интегралами ассоциированных к форме уравнений. Уравнение связи нельзя выбрать произвольно, оно есть частный интеграл уравнения в частных производных.

2. Задано подмногообразие многообразия Условие (29) линейно по отношению поля Существует бесконечное число полей удовлетворяющих (29). Единственность решения определяется выбором определенной схемы реализации связей.

Большинство связей, используемых в механике, такие, что в качестве условия реализации можно принять их идеальность, т. е. условие равенства нулю элементарной работы реакций связей на возможных перемещениях механической системы, допускаемых связями.

Можно считать, что известно направление силы реакции связи, т. е., что поле связи имеет форму поля известных

направлений, где в — известное векторное поле направлений реакций связей, — определяемая числовая функция. В этом случае уравнение (29) можно представить в виде

Если то это означает, что принадлежит подпространству ассоциированных к форме форм, т. е., что — первый частный интеграл ассоциированной системы к форме Такую, связь можно реализовать без присоединения новых сил к механической системе, так как условие (30) в этом случае удовлетворяется при Поэтому, если это особо не отмечается, будем считать, что на механическую систему наложена связь, когда не есть первый частный интеграл уравнений движения, т. е., когда Поэтому уравнение (30) при определяет для множителей конечные значения.

Если то это означает, что принадлежит подпро странству ассоциированных к форме форм, т. е., что первый частный интеграл ассоциированной системы к форме Такую связь можно реализовать без присоединения новых сил к механической системе, так как условие (30) в этом случае удовлетворяется при Поэтому, если это особо не отмечается, будем считать, что на механическую систему наложена связь, когда не есть первый частный интеграл уравнений движения, т. е. когда . Поэтому уравнение (30) при определяет для множителей конечные значения.

Если то как следует из (30), множители принимают бесконечно большое значение, что связано уже с деформацией связей, т. е. с выходом за пределы аналитической механики. Это приводит к необходимости введения понятия о совместимости связей с рассматриваемой механической системой.

Определение. Связи, наложенные на механическую систему, называют совместимыми с ней, если выполнено условие

Дадим геометрическую интерпретацию условия совместимости связей. Рассмотрим на многообразии расширенного фазового пространства векторное поле порядка, образованное из векторных полей касательного пространства Т к а также рассмотрим внешнюю форму степени образованную из форм пространства , дуального к Г. В точке М многообразия векторное поле и форма степени создают соответственно -вектор и -форму, внутреннее произведение которых равно .

Условие совместимости , следовательно, влечет за собой неравенство нулю этих -вектора и -формы.

Из неравенства нулю -вектора следует, что направления реакций связей в точке М многообразия образуют независимую систему. Из неравенства нулю -формы следует, что функций, определяющих уравнения связей, независимы.

Если обозначить А матрицу, строк которой составлены из компонент -форм относительно базиса матрицу, столбцов которой составлены из компонент полей то произведение определяет квадратную матрицу порядка определитель которой равен внутреннему произведению -вектора и -формы.

Компоненты -вектора образуются с помощью определителя порядка извлекаемого из матрицы Компоненты -формы образуются с помощью определителя порядка извлекаемого из матрицы . И, следовательно,

Существование -вектора и -формы внутреннее произведение которых отлично от нуля, позволяет построить приведенную внешнюю форму Положим Существование -вектора позволяет вычислить дифференциалов функций . Положим

Существование -формы позволяет вычислить дифференциалов как функций .

Так как внутреннее произведение -вектора и -формы отлично от нуля, то можно выбрать систему дифференциалов которые выражаются как функции форм произвольным образом. Для определенности будем считать, что через формы выражены первые пар дифференциалов т. е.

Внешнюю форму можно выразить с помощью форм Пфаффа:

Уравнения движения и множителей связей определяются

ассоциированной к форме системой:

к которой присоединяются уравнения связей

Приведенной формой назовем форму, которая получается из формы когда приравнивается нулю:

первых уравнений, ассоциированных к примут вид

Заметим, что полученная система уравнений совпадает с первыми двумя системами уравнений, ассоциированных к форме если положить в них Для полноты системы (32) необходимо присоединить к уравнениям уравнений, подобных уравнениям

Если форма выражена в переменных т. е. если

то можно составить ассоциированных к форме уравнений:

Так как

Поэтому уравнении имеют следствием

Для получения полной системы достаточно присоединить к уравнений в которых величин заменены их значениями, вычисленными с помощью уравнений связей На основании вышеизложенного можно сформулировать следующее предложение:

Предложение 1. Пусть дана механическая система переменных, на которую наложены связей типа

Можно получить дифференциальные уравнения движения и множителей связей присоединяя к ассоциированным к форме уравнениям, с одной стороны, уравнений , с другой стороны, уравнений переменных вычисляются с помощью уравнений связей

Приведенная форма зависит, как ясно из приведенного выше, от -форм -форм и Так как — мощность сил, необходимых для реализации -связи то каждое можно заменить на в и получить, таким образом, форму

в которой не фигурируют множители связей

Полученную таким образом форму назовем дважды приведенной формой. Ассоциированная к ней система имеет вид

Полученные уравнения не содержат множителей связей и, следовательно, форма может применяться для составления уравнений движения, не зависящих от множителей связи.

Для получения дважды приведенной формы необходимо в форме заменить пар дифференциалов на их значения, вычисленные с помощью двух систем:

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующее предложение:

Предложение 2. Пусть дана механическая система переменных, на которую наложено совместимых связей Можно получить дифференциальные уравнения движения, как ассоциированные к форме ранга выводимой из формы заменой пар дифференциалов их значениями, вычисленными для с помощью дифференциальных уравнений связей, для с помощью уравнений если переменных вычисляются с помощью уравнений связей то необходимо присоединить к ассоциированной системе к форме форм

Следовательно, для того чтобы применять результаты, приведенные в § 5, для исследования движения несвободных

Рис. 10

механических систем, надо в качестве внешней формы используемой в § 5, взять дважды приведенную внешнюю форму Получаемые при этом уравнения (26) не зависят от множителей связей и позволяют найти уравнения движения механических систем без определения реакций связей.

В случае, если форма выражается с помощью лагранжевых переменных и их дифференциалов, предложение 2 можно представить так:

Предложение 2а. Для получения дважды приведенной формы заменяем пар дифференциалов их значениями, вычисленными для с помощью дифференциальных уравнений связей, для с помощью уравнений и заменой переменных их значениями, вычисленными с помощью уравнений связей. Для полноты ассоциированной системы присоединяем к ней форм

Таким образом, можно предложить следующий метод изучения движения механических систем:

1. Множители связей определяются независимо от движения комбинированным использованием формы и оператора Картана. Для этого достаточно определить для свободной от этих связей системы:

а) характеристическое поле , соответствующее форме

б) поля направлений реакций связей уравнений (30) вполне определяют систему реакций связей.

2. Дифференциальные уравнения движения всегда можно получить независимо от множителей связей с помощью ассоциированных уравнений к форме

Пример 3. Кольцо М массой надетое на гладкую проволоку, изогнутую по винтовой линии, соскальзывает под действием силы тяжести. Определить уравнения движения кольца и реакцию проволоки. Винтовая линия является пересечением двух поверхностей, заданных уравнениями

В начальный момент кольцо М находилось в покое в положении указанном на рис. 10.

Решение. В соответствии с предложенной выше методикой, рассмотрим сначала свободную материальную точку. Кинетическая энергия ее

По формуле (15) находим внешнюю форму

Для определения компонент характеристического векторного поля составляем уравнение, согласно (17):

откуда, полагая находим

Связи, наложенные на точку, представляем в виде

После направлений реакция связей определяется уравнениями связей, при принятой системе реализации связей; реакции связей должны быть направлены перпендикулярно к поверхностям, определяемым уравнениями связей. Следовательно, поля направлений реакций связей имеют следующие компоненты:

Уравнения (30) для определения множителей связей имеют вид

Вычисляем:

Тогда из (а) находим множители связей

Для нахождения уравнений движения найдем дважды приведенную форму Для этого, согласно предложению 2, выразим из уравнений связей:

Дифференциалы находим из уравнений:

Рис. 11

Подставляя в них значения полученные из уравнений связей, имеем

Заменяя в форме полученными значениями, находим дважды приведенную форму

Для получения дифференциальных уравнений движения составим ассоциированную систему к дважды приведенной форме

Пример 4. Исследовать движение однородного твердого тела, имеющего форму конуса вращения, вершина которого закреплена на неподвижной плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Угол Р составляет половину угла при вершине конуса; масса его М, высота (рис. 11).

Пусть — неподвижная система координат, а — система координат, неизменно связанных с телом (подвижная система).

Решение. Так как в данной задаче не требуется нахождение реакций связей, то будем вычислять сразу дважды приведенную форму Форма состоит из двух частей: кинетическая часть

динамическая часть

При использовании подвижных осей необходимо вычислить по отношению к этим осям абсолютные дифференциалы параметров позиции и скорости. Пусть — координаты произвольной точки конуса, неподвижной относительно подвижных осей, — единичные векторы подвижных осей. Тогда

Из формул Пуассона находим:

(кликните для просмотра скана)

Вторая сумма в выражении кинетического потенциала есть выражение кинетической энергии в подвижной системе координат, которая для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, для главных осей инерции имеет вид

или, воспользовавшись кинематическими формулами Эйлера,

получим

Окончательное выражение для кинетического потенциала получаем в виде

Тогда кинетическую часть формы найдем как внешний дифференциал от кинетического потенциала:

Вычислим теперь динамическую часть формы Внешние силы определены их мощностью:

откуда

где — апликата центра масс конуса в подвижной системе координат. Форма равна сумме форм

Известны четыре поля , образующих инфинитезимальные преобразования для формы Если переменные на многообразии обозначить то компоненты полей в данном базисе будут равны:

Из непосредственного вычисления внешнего дифференциала формы получаем Следовательно, согласно теореме 3, § 5, полям , образующим инфинитезимальные преобразования формы соответствуют первые интегралы. Найдем их:

для поля

Подставляя это в формулу (17), имеем

откуда, соответствующий первый интеграл равен

Аналогично для поля

Следовательно, первый интеграл имеет вид

Для поля

и соответствующий первый интеграл

Получено три классических первых интеграла для задачи Лагранжа движения твердого тела около неподвижной точки, которые представим в

где

Из (2) и (3)

Дальнейшее исследование движения конуса можно произвести обычным методом (см., например, Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. 2, стр. 203—206), только необходимо учесть, что функция в данном случае изменяется в пределах .