§ 2. Скобки Пуассона и их основные свойства

Сумма, находящаяся в левой части условия (3), является частным случаем общего математического выражения, составляемого посредством двух функций от

канонических переменных и времени. Назовем это выражение скобками Пуассона от двух данных функций и обозначим

Следовательно, условие Пуассона (3) для первого интеграла можно представить в виде

Отметим основные свойства скобок Пуассона, вытекающие из непосредственного рассмотрения структуры выражения (4).

1. Скобки Пуассона, подобно векторному произведению векторов, не перестановочны, т. е. при перестановке и в левой части (4) правая часть изменит свой знак на противоположный. Это свойство следует из того, что порядок расположения функций и 0 в левой части показывает, как надо составлять правую часть (4): в слагаемом со знаком плюс первая функция дифференцируется по а вторая — по Поэтому скобка Пуассона с переставленными членами будет иметь вид

т.е.

2. Очевидно, что скобки Пуассона от двух тождественно одинаковых функций тождественно равны нулю:

3. Если одна из функций в скобках Пуассона является тождественной постоянной, т. е. то скобка Пуассона равняется тождественно нулю:

4. Постоянный множитель перед каждым членом скобки Пуассона можно выносить за знак скобки, т. е.

Следовательно, перемена знака у одного члена скобок Пуассона влечет за собой изменение знака перед скобками или же перестановку членов в скобках:

5. Скобки Пуассона обладают распределительным свойством,

6. Выведем формулу для частной производной по времени от скобок Пуассона. Имеем

Итак,