§ 7. Системы уравнений, имеющие интегральные инварианты

В § 2 этой главы доказано, что для гамильтоновой системы уравнений действителен интегральный инвариант Пуанкаре. Докажем обратное утверждение: если система уравнений

имеет относительный интегральный инвариант то она обязательно имеет гамильтонову форму. Действительно, если постоянен, то

Но

вследствие перестановочности операций дифференцирования и варьирования.

Вычислим интеграл с помощью интегрирования по частям:

Вследствие замкнутости контура интегрирования проинтегрированный член равняется нулю:

или на основании уравнения (12)

Так как контур интегрирования произволен, то подынтегральное выражение является вариацией некоторой функции

Откуда

что и требовалось доказать.