Глава VII. ВАРИАЦИИ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛОВ ОТ НИХ

§ 1. Варьирование движений

Обобщенные координаты, скорости ускорения импульсы и их производные по времени рассматриваются в механике как функции времени и постоянных интегрирования, или как функции времени и начальных значений обобщенных координат и скоростей; эти величины, включая время можно считать переменными аргументами функций.

Под динамическими функциями будем понимать функции, зависящие от времени обобщенных координат и их первых производных по времени или функции, зависящие от времени обобщенных координат и импульссв, характеризующие движение механической

системы. К динамическим функциям относятся, например, кинетическая энергия Г, функция Лагранжа функция Гамильтона Н, полная энергия системы , силовая функция и др.

Основным методом аналитической механики является анализ всех возможных двчжений системы при данных силах и заданных уравнениях связей. На этом, как видно из всего предыдущего, базируется вывод динамических дифференциальных уравнений движения. Когда дифференциальные уравнения движения проинтегрированы, то необходимо изучить зависимость найденного движения системы от значений начальных данных.

Для наглядности считаем обобщенные координаты и скорости механической системы координатами точки (изображающей точки) в пространстве измерений (фазовом пространстве). Совокупность обобщенных координат и скоростей системы выражает кинематическое состояние системы в какой-то текущий момент времени.

Все эти состояния зависят от начального состояния

Обозначим положения системы на условной траектории изображающей точки в пространстве измерений точками Начальное состояние обозначим Каждому начальному состоянию системы соответствует некоторая определенная траектория дальнейших положений движущейся системы.

Применим опять принцип исследования всех возможных движений этой системы на основе найденных интегралов ее движения. Мысленно представим все возможные движения данной системы,

т. е. будем изменять начальные значения по какому-либо закону.

Рассмотрим простейший закон изменения: пусть все изменяются в зависимости только от некоторого (одного) параметра а, т. е. положим

Тогда изменятся и траектории системы; они будут начинаться в разных точках -мерного пространства и в разные начальные моменты времени.

Отметим такое существенное обстоятельство: можно изменять только начальные значения координат и скоростей а время не изменять. Тогда траектории системы будут иметь различные начальные точки, но движение по каждой из них начнется в один и тот же момент не будет зависеть от параметра а. Такое изменение начальных данных назовем изохронным, а изменение движения системы в этом случае — изохронным варьированием движения.

Положим, что закон изменения начальных данных таков, что все начальные точки Во окажутся расположенными на некотором замкнутом контуре в -мерном пространстве. Траектории же системы в этом случае расположатся на некоторой поверхности (на трубке). Назовем эту поверхность трубкой возможных (мыслимых) траекторий.

При изохронном варьировании движения на всех траекториях начинаются в один и тот же момент времени. Все начальные положения системы располагаются на контуре начальных положений системы, но дальнейшие движения системы по траекториям под действием данных сил различны. В каждый дальнейший момент времени тоже можно представить контур из точек, выражающих положения системы однако этот контур, сравнительно с начальным, может иметь уже другой вид.

Если начальный контур имеет малый размер, то контуры дальнейших одновременных состояний системы на трубке траекторий могут сохранять размер того же порядка малости, как и в начальный момент времени. В этом случае назовем движение системы виртуально-устойчивым. Если же контур дальнейших положений расширяется по поверхности трубки, то движение системы называем виртуально-неустойчивым.

Предположим теперь, что и начальный момент времени изменяется по какому-либо закону:

Понятие трубки траекторий сохраняется и в этом случае, однако на различных траекториях движение начинается в различные моменты времени.

В этом случае увеличивается возможность более значительной деформации этого контура на трубке. Такое варьированное движение системы назовем неизохронным или полным.