§ 4. Пример на интегрирование уравнений Лагранжа второго рода (задача Ленэ)
Рассмотрим движение свободной материальной "точки единичной массы в сферической системе координат 
в случае, когда существует силовая функция вида
— известные функции, которые должны быть непрерывными и иметь непрерывные производные.
Применим уравнения Лагранжа:
Кинетическая энергия точки единичной массы
Известно, что
где 
— широта, отсчитываемая по меридиану от полюса, 
— долгота.
На основании (47)
Подставляя значения 
в (46), получаем
Обобщенные силы, входящие в уравнения Лагранжа (45), имеют вид
где 
производные функций 
соответственно по 
Найдем выражения производных, входящих в уравнения Лагранжа (45):
Подставляя значения обобщенных сил и значения производных в уравнения (45), получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
Эта система интегрируется следующим образом. Уравнение (50) можно представить в форме
Интегрируя это уравнение, получаем
где 
— постоянная, которая определяется из начальных условий.
Уравнение (49) представим в форме
Умножив (51) на 
получим
Учитывая (53), уравнение (52) можно представить следующим образом:
Умножая обе части этого уравнения 
получаем
Это уравнение можно представить в следующей форме:
или
Интегрируя последнее уравнение, получаем
Заметим, что кинетическая энергия от 
явно не зависит. Следовательно, справедлив интеграл энергии
т. е.
Последнее равенство представим иначе:
Подставляя в это равенство значения 
из (54) и (51), получаем
Следовательно,
Интегрируя (55), найдем зависимость между 
где 
— постоянная интегрирования. Разрешая получающееся соотношение относительно 
получаем
Равенство (54) представим следующим образом:
или
Учитывая (55), получаем
Интегрируя это равенство, найдем зависимость между 
где 
— постоянная. Разрешая получающееся равенство от носительно 0 и учитывая, что 
получаем
Представим (51) и (54) в форме
или
Из этих равенств получаем
После интегрирования находим зависимость между 
где 
— постоянная. Разрешая получающееся равенство относительно 
и учитывая, что 
получаем
Постоянные 
находим из начальных условий.
