Главная > Основы аналитической механики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. Пример на интегрирование уравнений Лагранжа второго рода (задача Ленэ)

Рассмотрим движение свободной материальной "точки единичной массы в сферической системе координат в случае, когда существует силовая функция вида

— известные функции, которые должны быть непрерывными и иметь непрерывные производные.

Применим уравнения Лагранжа:

Кинетическая энергия точки единичной массы

Известно, что

где — широта, отсчитываемая по меридиану от полюса, — долгота.

На основании (47)

Подставляя значения в (46), получаем

Обобщенные силы, входящие в уравнения Лагранжа (45), имеют вид

где производные функций соответственно по

Найдем выражения производных, входящих в уравнения Лагранжа (45):

Подставляя значения обобщенных сил и значения производных в уравнения (45), получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

Эта система интегрируется следующим образом. Уравнение (50) можно представить в форме

Интегрируя это уравнение, получаем

где — постоянная, которая определяется из начальных условий.

Уравнение (49) представим в форме

Умножив (51) на получим

Учитывая (53), уравнение (52) можно представить следующим образом:

Умножая обе части этого уравнения получаем

Это уравнение можно представить в следующей форме:

или

Интегрируя последнее уравнение, получаем

Заметим, что кинетическая энергия от явно не зависит. Следовательно, справедлив интеграл энергии

т. е.

Последнее равенство представим иначе:

Подставляя в это равенство значения из (54) и (51), получаем

Следовательно,

Интегрируя (55), найдем зависимость между где

— постоянная интегрирования. Разрешая получающееся соотношение относительно получаем

Равенство (54) представим следующим образом:

или

Учитывая (55), получаем

Интегрируя это равенство, найдем зависимость между где — постоянная. Разрешая получающееся равенство от носительно 0 и учитывая, что получаем

Представим (51) и (54) в форме

или

Из этих равенств получаем

После интегрирования находим зависимость между где — постоянная. Разрешая получающееся равенство относительно и учитывая, что получаем

Постоянные находим из начальных условий.

1
Оглавление
email@scask.ru