§ 3. Интегральные инварианты высших порядков

Преобразуем выражение (4):

Но

Следовательно,

Применив к этому интегралу известную теорему Стокса

где — любая поверхность, ограниченная замкнутым контуром С, имеем

Последний интеграл обозначим и назовем линейным абсолютным интегральным инвариантом второго порядка или интегральным инвариантом второго порядка.

Картан [6] с помощью созданного им метода внешних форм показал наличие интегральных инвариантов более высокого порядка, вплоть до порядка имеющих вид

Инварианты нечетных порядков являются относительными, инварианты частных порядков — абсолютными. Кроме того,

если контур, по которому вычислен является границей области интегрирования для .

Интегральные инварианты, определенные в этом и предыдущем параграфах, называют также универсальными интегральными инвариантами, так как они не зависят от функции Гамильтона , следовательно, действительны для любой гамильтоновой системы. Выражение

также является интегральным инвариантом (абсолютным), имеет большое значение в статистической физике и называется интегральным инвариантом Лиувилля. Он выражает неизменность объема фазового пространства для любого момента времени.