§ 13. Принцип Гамильтона—Остроградского (примеры)
1. Рассмотрим одномерное движение материальной точки единичной массой в потенциальном поле с силовой функцией 
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
Пусть 
— действительное движение, для которого 
Пусть 
— движение, сравниваемое с действительным и удовлетворяющее тем же условиям. Следовательно,
где а — любая функция, для которой 
Обозначив действие по Гамильтону для действительного и сравниваемого движений 
и 
соответственно, кинетическую энергию 
, силовую функцию 
и 
имеем
Так как
то
Используя формулу Тейлора для силовой функции, имеем 
Следовательно, если во всем поле 
то подынтегральная функция положительна и действие по Гамильтону для действительного движения имеет минимум по сравнению со всеми другими движениями.
Это справедливо, в частности, для прямолинейного движения в однородном поле силы тяжести 
и в поле отталкивающей центральной силы, являющейся монотонно неубывающей функцией расстояния 
Эти рассуждения можно легко распространить и на простые движения со многими степенями свободы. Пусть, например, 
— прямоугольные декартовы координаты в плоском поле силы тяжести, 
— дифференциальные уравнения движения, 
— сравниваемое движение. Тогда
2. Исследуем теперь применение принципа Гамильтона — Остроградского для гармонического движения. Пусть 
— положение равновесия, 
— дифференциальное уравнение движения (следовательно, 
— силовая функция). При этом
Уравнение (32) принимает вид
Введем новую переменную, применяя соотношение 
Тогда
где 
причем 
Если 
то определенную на интервале 
нечетную функцию а можно разложить в ряд Фурье по синусам:
Подставляя в (33), имеем
Следовательно, 
для любого а только тогда, когда 
т. е. в случае
где Т — период колебания. Если же это условие не выполнено, то достаточно взять 
и тем самым построить функцию а, для которой 
Действие по Гамильтону для действительного движения имеет минимум по сравнению со всеми другими движениями только тогда, когда временной интервал меньше 
Теорию кинетических фокусов можно применить к изучению движения математического маятника в общем (нелинейном) случае.
