§ 3. Понятие касательного пространства и векторного поля на многообразии

В классическом векторном анализе понятие касательного вектора к кривой определяется непосредственным образом. Если (-кривая в пространстве причем то касательный вектор к кривой в точке Р имеет вид Две кривые и имеют один и тот же касательный вектор, если для всех Однако на многообразии нельзя представить любую кривую как набор функций одной переменной, пока не выбрана локальная система координат. Тем не менее можно определить касательный вектор в точке Р более абстрактным образом — как класс эквивалентности кривых, проходящих через точку Р, причем две кривые считаются эквивалентными, если в точке Р они имеют одинаковые производные в одной, а значит и во всех системах координат, заданных вблизи Р.

Определение 1. Кривой на многообразии М, проходящей через точку называют дифференцируемое отображение

такое, что

Пусть — множество всех пар т. е. пространство всех кривых на многообразии М. Введем в пространстве следующее отношение эквивалентности:

где - некоторая локальная система координат вблизи точки Р.

Заметим, что если функции определяют другую систему координат вблизи Р, то

Поэтому введенное отношение эквивалентности не зависит от системы координат.

Обозначим пространство классов эквивалентности пространства Элемент X из (т. е. класс эквивалентности пространства называют касательным вектором.

Множество векторов, касательных к многообразию М в точке имеет структуру линейного пространства. Это пространство называют касательным пространством к многообразию М в точке Р и обозначают

Рассмотрим объединение касательных пространств к многообразию М во всех его точках: Множество имеет естественную структуру гладкого многообразия.

Определение 2. Многообразие называют касательным расслоением многообразия М.

Существует отображение , называемое проекцией, которое сопоставляет каждому касательному вектору его начало. Прообразы точек при отображении называют слоями расслоения

Определение 3. Векторное поле (класса ) на многообразии М есть гладкое (класса ) отображение такое, что отображение тождественное, диаграмма

коммутативна.

Пусть X и — два векторных поля на многообразии М. Производной Ли поля по направлению поля X назовем величину

выражение для которой в локальной системе координат имеет вид

где

Примечание. 1. Если вместо векторного поля взять дифференцируемую на М функцию то производная Ли от функции по направлению векторного поля X в локальных координатах имеет вид

Если вместо векторного поля взять дифференциальную форму на М, то производная Ли от дифференциальной формы по направлению векторного поля Х примет вид или в локальных координатах

где

Из формул следует, что если X — векторное поле класса то производная Ли дифференцируемой функции, дифференциальной формы или векторного поля класса есть функция, форма или векторное поле класса

Следуя общепринятым обозначениям, положим . Левая часть называется скобкой Ли (или коммутатором) векторных полей и X.

Определение 4. Пусть X — векторное поле на многообразии Мт. Интегральной кривой поля X называют дифференцируемую кривую такую, что для всех

Пусть — система локальных координат на открытой области Если выражение поля X в этой карте, то интегральные кривые поля X являются решениями дифференциальных уравнений

Обозначим пространство, сопряженное с касательным пространством Пусть — внешняя дифференциальная форма, элемент внешней алгебры на векторном пространстве Обозначим наименьшее подпространство векторного пространства такое, что элемент внешней алгебры этого пространства. Пространство назовем ассоциированным пространством к внешней форме , а его размерность определит ранг этой формы.

Обозначим множество векторов таких, что

Теорема. [10]. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы есть

Уравнения называют ассоциированными к форме . Приведенная теорема дает метод построения векторного пространства ассоциированного к данной внешней форме

Пусть — базис пространства тогда — выражение формы в этом базисе. Если — компоненты вектора X в сопряженном к базисе, то условие теоремы можно представить в виде

Следовательно, компоненты вектора должны удовлетворять однородной системе уравнений Ассоциированное векторное пространство образовано, следовательно, внешними формами первой степени (формами Пфаффа)

Пример. -форма имеет ассоциированное пространство, образованное формами ранг системы

линейных форм равен рангу матрицы так как ранг квадратной антисимметричной матрицы — всегда четное число, то и ранг внешней формы второй степени всегда равен четному числу; в частности, определитель матрицы в пространстве нечетной размерности равен нулю, следовательно, в этом случае -форма всегда имеет ранг меньше

Рассматривая внешние дифференциальные формы иногда удобнее пользоваться определением ассоциированной системы через частные производные формы . Ассоциированной системой к внешней форме со степени назовем систему, которая получается приравниванием нулю всех частных производных порядка от этой формы.

Примечание. В дальнейшем знак суммы часто не применяется и суммирование обозначается повторяющимися индексами (правило суммирования Эйнштейна).