Главная > Основы аналитической механики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Понятие касательного пространства и векторного поля на многообразии

В классическом векторном анализе понятие касательного вектора к кривой определяется непосредственным образом. Если (-кривая в пространстве причем то касательный вектор к кривой в точке Р имеет вид Две кривые и имеют один и тот же касательный вектор, если для всех Однако на многообразии нельзя представить любую кривую как набор функций одной переменной, пока не выбрана локальная система координат. Тем не менее можно определить касательный вектор в точке Р более абстрактным образом — как класс эквивалентности кривых, проходящих через точку Р, причем две кривые считаются эквивалентными, если в точке Р они имеют одинаковые производные в одной, а значит и во всех системах координат, заданных вблизи Р.

Определение 1. Кривой на многообразии М, проходящей через точку называют дифференцируемое отображение

такое, что

Пусть — множество всех пар т. е. пространство всех кривых на многообразии М. Введем в пространстве следующее отношение эквивалентности:

где - некоторая локальная система координат вблизи точки Р.

Заметим, что если функции определяют другую систему координат вблизи Р, то

Поэтому введенное отношение эквивалентности не зависит от системы координат.

Обозначим пространство классов эквивалентности пространства Элемент X из (т. е. класс эквивалентности пространства называют касательным вектором.

Множество векторов, касательных к многообразию М в точке имеет структуру линейного пространства. Это пространство называют касательным пространством к многообразию М в точке Р и обозначают

Рассмотрим объединение касательных пространств к многообразию М во всех его точках: Множество имеет естественную структуру гладкого многообразия.

Определение 2. Многообразие называют касательным расслоением многообразия М.

Существует отображение , называемое проекцией, которое сопоставляет каждому касательному вектору его начало. Прообразы точек при отображении называют слоями расслоения

Определение 3. Векторное поле (класса ) на многообразии М есть гладкое (класса ) отображение такое, что отображение тождественное, диаграмма

коммутативна.

Пусть X и — два векторных поля на многообразии М. Производной Ли поля по направлению поля X назовем величину

выражение для которой в локальной системе координат имеет вид

где

Примечание. 1. Если вместо векторного поля взять дифференцируемую на М функцию то производная Ли от функции по направлению векторного поля X в локальных координатах имеет вид

Если вместо векторного поля взять дифференциальную форму на М, то производная Ли от дифференциальной формы по направлению векторного поля Х примет вид или в локальных координатах

где

Из формул следует, что если X — векторное поле класса то производная Ли дифференцируемой функции, дифференциальной формы или векторного поля класса есть функция, форма или векторное поле класса

Следуя общепринятым обозначениям, положим . Левая часть называется скобкой Ли (или коммутатором) векторных полей и X.

Определение 4. Пусть X — векторное поле на многообразии Мт. Интегральной кривой поля X называют дифференцируемую кривую такую, что для всех

Пусть — система локальных координат на открытой области Если выражение поля X в этой карте, то интегральные кривые поля X являются решениями дифференциальных уравнений

Обозначим пространство, сопряженное с касательным пространством Пусть — внешняя дифференциальная форма, элемент внешней алгебры на векторном пространстве Обозначим наименьшее подпространство векторного пространства такое, что элемент внешней алгебры этого пространства. Пространство назовем ассоциированным пространством к внешней форме , а его размерность определит ранг этой формы.

Обозначим множество векторов таких, что

Теорема. [10]. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы есть

Уравнения называют ассоциированными к форме . Приведенная теорема дает метод построения векторного пространства ассоциированного к данной внешней форме

Пусть базис пространства тогда — выражение формы в этом базисе. Если — компоненты вектора X в сопряженном к базисе, то условие теоремы можно представить в виде

Следовательно, компоненты вектора должны удовлетворять однородной системе уравнений Ассоциированное векторное пространство образовано, следовательно, внешними формами первой степени (формами Пфаффа)

Пример. -форма имеет ассоциированное пространство, образованное формами ранг системы

линейных форм равен рангу матрицы так как ранг квадратной антисимметричной матрицы — всегда четное число, то и ранг внешней формы второй степени всегда равен четному числу; в частности, определитель матрицы в пространстве нечетной размерности равен нулю, следовательно, в этом случае -форма всегда имеет ранг меньше

Рассматривая внешние дифференциальные формы иногда удобнее пользоваться определением ассоциированной системы через частные производные формы . Ассоциированной системой к внешней форме со степени назовем систему, которая получается приравниванием нулю всех частных производных порядка от этой формы.

Примечание. В дальнейшем знак суммы часто не применяется и суммирование обозначается повторяющимися индексами (правило суммирования Эйнштейна).

1
Оглавление
email@scask.ru