§ 10. Интеграл энергии

Для механической системы с функцией Лагранжа при определенных условиях может существовать интеграл, характеризующий изменение энергии системы при ее движении.

Для вывода этого интеграла применим уравнения Лагранжа:

Умножаем каждое уравнение (72) на и суммируем все уравнения:

Каждое слагаемое под знаком первой суммы представим в виде

Тогда в уравнении (73) вынесем оператор за знак суммы и получим

Вторую сумму в (75) можно представить в виде

Действительно, при вычислении полной производной по времени от учитывая, что имеем

Очевидно, что (76) и (77) представляют одно и то же соотношение.

Соотношение (75) на основании (76) преобразуется следующим, образом:

Функция Лагранжа выражается через кинетическую энергию системы и силовую функцию:

Все дальнейшие рассуждения и вывод интеграла энергии разделяются на три случая.

1. Изучаемая механическая система является вполне склерономной, т. е. функция не зависит явно от времени, и, кроме того, кинетическая энергия системы является однородным квадратичным многочленом от обобщенных скоростей:

а следовательно,

Тогда соотношение (78) можно представить в виде

Теперь применяем известную теорему Эйлера из классического математического анализа об однородных функциях нескольких переменных. Однородной функцией от нескольких переменных называется функция удовлетворяющая следующему условию: при замене переменных переменными связанными с условиями — некоторый параметр, функция выражается в переменных следующим образом:

Показатель называется показателем степени однородности функции Теорема Эйлера выражает такое замечательное свойство однородных функций: сумма произведений частных производных от однородной функции по всем переменным на эти же переменные равняется произведению данной функции на показатель степени однородности,т. е. выполняется тождественно соотношение

Например, очевидно, есть однородный многочлен третьей степени:

Заменяя на имеем что нетрудно проверить.

Проверим теорему Эйлера, т. е. составим выражение

Рассмотрим теперь соотношение (80). Применим к сумме под знаком производной теорему Эйлера об однородных функциях:

Во втором слагаемом заменим Тогда (80) перейдет в следующее выражение:

Равенство (80) после упрощения можно представить в виде

откуда появляется первый интеграл уравнений движения системы

где — постоянная величина;

где П — потенциальная энергия системы;

где Е — полная энергия системы.

Таким образом, установлен основополагающий факт в классической механике, выражающий закон сохранения полной энергии, который формулируется в следующем виде: для вполне склерономной механической системы, движущейся под действием потенциальных сил, не зависящих от времени, имеется классический интеграл сохранения механической энергии, по которому полная энергия системы остается постоянной величиной в процессе движения, т. е. сохраняется и не рассеивается. На основании изложенного склерономные механические системы, движущиеся в поле потенциальных сил, называются консервативными механическими системами.

2. Положим далее, что частная производная по времени от функции Лагранжа по-прежнему равна нулю т.е. время явно не входит в но кинетическая энергия системы не является только квадратической функцией а выражается в общем виде То (но времени явно не содержит). В этом случае выражается в виде

Соотношение (78) можно представить в следующих видах:

Рис. 2

или, применяя теорему Эйлера,

откуда окончательно

Соотношение (83) представляет собой тоже первый интеграл уравнений Лагранжа, но оно не выражает закона сохранения энергии. Этот интеграл носит название интеграла Якоби — Пенлеве.

3. Переходим к последнему случаю, когда , т. е. время входит явно в Г, может быть и в . В этом случае какой-либо интеграл, выражающий изменение полной энергии во вполне реономной системе, отсутствует, что нетрудно проверить.