§ 12. Интегральные инварианты и последний множитель Якоби
Пусть система дифференциальных уравнений (1) имеет абсолютный интегральный инвариант наивысшего возможного порядка
Выясним условия, которым должна удовлетворять функция чтобы выражение (39) было интегральным инвариантом. Введем зависимость начальных условий от параметров 
и представим (39) так:
Так как 
не зависят от времени, то условием инвариантности является равенство
что выражает независимость подынтегральной функции в (40) от 
Представим (41) в различных видах:
или после сокращения на якобиан в следующем виде:
Из сравнения полученного равенства с (39) следует, что 
является интегральным инвариантом системы 
только тогда, когда 
— последний множитель Якоби системы (1). Если, в частности, (1) представляет собой систему канонических уравнений Гамильтона, то как следует из 
являтся последним множителем.
Таким образом, если известны 
интегралов 
системы канонических уравнений Гамильтона
то последний интеграл можно найти вычислением такой, например, квадратуры
где 
выражены через 
