§ 11. Принцип наименьшего действия Гамильтона — Остроградского

Действием по Гамильтону, которое обозначим называется определенный интеграл

где — функция Лагранжа.

В принципе Гамильтона — Остроградского сравниваются близкие движения, переводящие данную материальную систему из ее начального положения в момент времени в конечное положение в момент времени При этом указывается, какие условия налагаются на все сравниваемые движения, состоящие в том, что некоторые характеристики всех движений являются общими, а некоторые различными. Имеются три следующих общих признака движений:

1. Система голономна.

2. Все сравниваемые движения начинаются в один и тот же момент времени и завершаются в один и тот же момент времени Следовательно, сравниваемые движения совершаются за один и тот же промежуток времени Закон изменения времени во всех движениях один и тот же, т. е. время не варьируется: Следовательно, вариации всех переменных являются изохронными, обозначаемыми

3. Поскольку все сравниваемые движения начинаются из одной и той же точки в один и тот же момент времени и оканчиваются в одной и той же точке в один и тот же момент времени т. е. значения всех обобщенных координат в эти моменты времени равны между собой, то, следовательно, изохронные вариации

обобщенных координат в этих крайних значениях тождественно равны нулям:

Для наглядности рассуждений изобразим движение системы траекторией некоторой точки в пространстве координат системы. Таким обарзом, два сравниваемых движения изображаются двумя линиями, имеющими общее начало в точке и общий конец в точке Положения системы на них в какой-то момент времени изображаются точками причем

Так как в сравниваемых движениях система проходит за один и тот же промежуток времени различные расстояния, то обобщенные скорости и в соответствующие моменты времени различны, а следовательно, и числовые значения кинетической энергии в этих движениях в соответствующие моменты времени тоже различны . Значения же потенциальной энергии, зависящей от координат и различны вследствие предполагаемой однозначности и непрерывности потенциальной энергии.

При всех перечисленных условиях, налагаемых на сравниваемые движения, принцип Гамильтона — Остроградского формулируется так: при указанных условиях действие по Гамильтону в истинном движении достигает стационарного значения сравнительно со значениями на всех близких движениях, или: только в истинном движении изохронная вариация действия по Гамильтону равняется нулю

Покажем, что из условия и принятых допущениях относительно вариаций обобщенных координат в начальной и конечной точках движения можно установить, что движение системы должно описываться уравнениями Лагранжа второго рода относительно координат

Для вывода этих уравнений составим выражение в раскрытой форме. Имеем

Необходимо, следовательно, продифференцировать интеграл параметру а. Так как пределы интеграла не зависят от а, то сргвниваемые движения начинаются в одной и той же точке и в один и тот же момент времени таким же образом они оказываются в одной и той же точке при

Но в математическом анализе доказывается, что производная по некоторому параметру от определенного интеграла в случае независимости пределов интеграла от данного параметра равна

интегралу в тех же пределах от производной по параметру от подынтегральной функции.

Следовательно,

Составим выражение Так как — функция от а время не варьируется, то

Применяем перестановочность операций изохронного варьирования и дифференцирования по времени, т. е.

Подставляем (20) в (19):

Второе слагаемое представим в виде

Подставляем (22) в (21):

Второй интеграл в (23) вычисляется и принимает вид

Но обе суммы в (23) равняются тождественно нулю, так как каждый множитель в точках равен нулю по начальным и конечным условиям (15) движения.

Таким образом, условие приводит к условию

Последнее равенство действительно на любом интервале интегрирования, т. е. при любых пределах

В математическом анализе доказывается, что равенство нулю определенного интеграла при любых пределах интегрирования

возможно только тогда, когда подынтегральная функция равна нулю. Следовательно,

Но так как движущаяся система голономна и все следовательно, независимы, то каждая скобка в (26) должна равняться нулю, т. е. получатся уравнения Лагранжа:

Можно доказать и обратную теорему: на основании (27) доказать равенство нулю вариации действия по Гамильтону, т. е.

Но соответствующий ход рассуждения будет изложен ниже при рассмотрении другого интегрального вариационного принципа — принципа наименьшего действия Лагранжа; там из условия, что движение системы описывается уравнениями Лагранжа, будет доказано, что вариация интеграла, выражающего действие по Лагранжу, должна быть равна нулю.