§ 4. Канонические преобразования и интегральные инварианты

Покажем, что интегральный инвариант (5) остается инвариантным при каноническом преобразовании координат. Это утверждение составляет теорему Пуанкаре и означает также неизменность интегрального инварианта первого порядка (4) при каноническом преобразовании. Так как область интегрирования в (5) является произвольной двумерной поверхностью в фазовом пространстве, то для характеристики положения изображающей точки на ней выберем два параметра и и и, так что

Имеем

где — якобиан, определяющий связь между элементом площади и элементом площади Равенство

выражающее теорему Пуанкаре, можно, следовательно, представить в виде

Так как область интегрирования произвольна, то равенство интегралов возможно лишь при равенстве сумм якобианов:

Рассмотрим каноническое преобразование, определяемое производящей функцией когда

Тогда

Подставляя полученные выражения в левую часть (6), разбивая каждый определитель на сумму двух и вынося в каждом столбце общие множители, получаем

Первая сумма в правой части этого равенства равна нулю, так как она не зависит от порядка индексов и а в то же время определители, стоящие в ней, изменяют знак при перемене этих индексов местами. Итак,

Аналогично

Следовательно,

Таким образом, теорема Пуанкаре доказана. Идея этого доказательства заимствована у Голдстейна [4], где оно приведено для производящей функции типа Тем же способом можно рассмотреть и канонические преобразования, осуществляемые производящими функциями других типов. Перейдем теперь к примерам вычисления интегральных инвариантов.