§ 4. Примеры канонических преобразований

Рассмотрим некоторые примеры на применение производящих функций вышеприведенных видов. Предварительно отметим, что совокупность переменных механической системы по

существу представляет собой модифицированное состояние системы. Действительно, пространственно-кинематическое состояние системы выражается совокупностью переменных — обобщенных координат и обобщенных скоростей Совокупность определяет фазовое пространство системы, а уравнения движения выражают траекторию точки в этом -мерном пространстве.

Но обобщенные импульсы системы выражаются через линейно, правда, с коэффициентами, зависящими от Следовательно, и совокупность переменных тоже выражает состояние данной системы в некоторый момент времени, но в фазовом пространстве гамильтоновых переменных Это пространство является отображением пространства так как можно выразить через Когда же производится каноническое преобразование переменных в новые переменные то фазовое пространство в первоначальных переменных преобразуется в пространстве новых переменных Каждой точке прежнего пространства соответствует некоторая точка другого пространства:

Р.). Может случиться, что это другое пространство будет более удобным для изучения свойств движения данной механической системы.

Рассмотрим пример канонического преобразования первого вида для системы с одной степенью свободы — для так называемого гармонического осциллятора, т. е. для системы, совершающей гармонические колебания (например, математический маятник или физический маятник). Обобщенная координата одна — Потенциальная энергия имеет вид кинетическая энергия уравнение Лагранжа

приводит к уравнению движения

Введем величину и обобщенный импульс т. е.

откуда

Составляем функцию Гамильтона, которая (в данном случае система консервативна) выражает полную энергию системы:

Выражаем через на основании (19):

Но подставляя это значение в (21), имеем

Применяем каноническое преобразование первого вида, с производящей функцией вида

В данном случае наиболее простая производящая функция имеет вид

Канонические преобразования в этом случае должны выполняться по формулам (10):

Из них можно получить выражения переменных и через другие и Р. Действительно, из (24) имеем

Связь между функциями Гамильтона в первоначальных координатах и новых координатах выражается формулой

Функция в данном случае не зависит от явно. Следовательно,

После подстановки (25) в (23) получаем

что и требовалось найти.

Теперь выразим функцию Гамильтона К через другие переменные и Р, подставляя (25) и (26) в (21). Тогда

Как видно, применение канонического преобразования оправдано, так как функция К в других переменных является весьма простой. Так как функция Гамильтона консервативной системы выражает полную энергию системы то и импульс Р сохраняет постоянное значение Последний результат показывает значение канонических преобразований и с другой стороны выявляются другие интегралы уравнений движения.

Составим уравнения движения системы других обобщенных координатах и Р; они имеют вид

Из второго уравнения (28) следует, что Р — О, так как Н согласно (27) не зависит от отсюда

Отметим, что первое дифференциальное уравнение в (28) требует учета в математическом анализе. В ряде случаев необходимо тщательно выполнять порядок последовательных математических операций. В данном случае казалось бы, что в первом уравнении (28) берется производная от постоянной величины по постоянной величине Р, т. е. операция, не имеющая смысла. В действительности же дифференцирование по Р проводится уже в фазовом пространстве в котором движение системы выражается линией, вдоль которой Р и -координаты точки — изменяются и К — функция от Р и поэтому следует сначала продифференцировать К по Р, потом уже учитывать все соотношения, получаемые при рассмотрении всех входящих динамических переменных как функций времени.

Выполняя дифференцирование в (28), имеем интегрируя по времени, получаем

где а — постоянная интегрирования, определяемая по начальным данным, через для чего их надо выразить из (23) и (24) через и Итак, имеем уравнения движения в других переменных:

Следовательно, линия, изображающая движение системы в пространстве есть прямая, параллельная оси и точка движется по этой линии равномерно. Траектория же изобргжающей точки в фазовом пространстве первоначальных координат получится, если выразить переменные и через ; это сделано в (25) и в (26). Из (25), заменяя Р и из (29), имеем

а из (26) аналогично

Исключая из полученных выражений и имеем фазовую траекторию в виде эллипса:

Таким образом, канонические преобразования переменных являются весьма эффективным методом для всестороннего изучения движения механических систем и часто употребляются, в частности при рассмотрении проблем небесной механики.

Рассмотрим еще один пример преобразования первого вида. За производящую функцию примем

Тогда

Это преобразование переводит импульсы в обобщенные координаты с одной переменой знака и наоборот. Так как при этом функция Гамильтона не изменяется то и уравнения движения в других переменных остаются прежними. Таким образом, если в уравнениях

заменить через а — через то уравнения (30) не изменяют своего вида. Рассмотрим примеры преобразований II класса.

Положим сначала

Тогда на основании (16) преобразования примут вид

Отметим, что каждая новая обобщенная координата зависит только от первоначальных координат Такое преобразование пространства конфигураций системы может быть осуществлено и при отсутствии движения. Такие преобразования фазового пространства движущейся механической системы, когда обобщенные координаты и связаны между собой соотношениями, не зависящими от импульсов называются точечными преобразованиями. Канонические преобразования общего вида являются расширенными точечными преобразованиями.