§ 8. Теорема о единственности универсального интегрального инварианта
Теорема утверждает, что любой универсальный интегральный инвариант
отличается от интегрального инварианта Пуанкаре
лишь постоянным множителем, т. е. если
то
Докажем, считая для простоты
Тогда условия
можно представить в виде
При этом в подынтегральное выражение необходимо ввести
применив решение канонических уравнений движения:
а вместо начальных условий и
— функции, определяющие замкнутый контур начальных условий:
Дифференцируя в (14) под знаком интеграла и меняя затем порядок дифференцирования по
и варьирования, имеем
Затем проинтегрируем по частям и используем замкнутость контура интегрирования, вследствие которой проинтегрированные члены равняются нулю:
Обозначим
Тогда из уравнений Гамильтона
последнее уравнение примет вид
Так как равенство (16) справедливо для любого контура начальных условий (любого контура интегрирования), то подынтегральное выражение является вариацией некоторой функции, т. е.
из (15)
поэтому (17) преобразуем к виду
Вследствие универсальности инварианта
последнее равенство должно выполняться при любом Н. Следовательно, все частные производные функции
равны нулю, а сама функция постоянна, т. е.
Откуда
Из этого условия следует существование такой функции
что
Тогда
поэтому
что и требовалось доказать.
При
доказательство при сохранении его идеи усложняется. Ли Хуа-Чжун [18, стр. 237—247] доказал единственность как относительных, так и абсолютных универсальных интегральных инвариантов любых порядков.