§ 5. Структура кинетической энергии системы

Для составления уравнений движения Лагранжа необходимо знать выражение кинетической энергии системы как функции обобщенных скоростей обобщенных координат и в общем случае времени Вычислим это выражение.

Для удобства записи введем вместо декартовых координат переменные с помощью следующих соотношений:

Кинетическую энергию системы можно представить следующим образом:

Выразим теперь все координаты через обобщенные координаты:

Дифференцируя по времени, имеем

Тогда

или

Следует помнить, что каждая частная производная от по любому в общем случае является функцией всех обобщенных координат и времени

Рассмотрим первую сумму в (57). Каждое слагаемое в этой сумме является квадратом многочлена. При возведении многочлена в квадрат появляются слагаемые вида

и вида

Очевидно, что и каждое слагаемое вида (58) можно представить аналогичным образом, т. е. в виде

Введем обозначение

Тогда первую сумму в (57) можно переписать в виде квадратичного многочлена относительно обобщенных скоростей, т. е.

где

Вторая сумма в (57) является линейным многочленом относительно обобщенных скоростей Эту сумму можно представить в виде

где

Наконец, третью сумму в (57), не зависящую от обобщенных

скоростей, обозначим I, т. е.

Итак, кинетическую энергию системы можно представить в виде

Введем такие обозначения: квадратичный относительно обобщенных скоростей многочлен

линейный относительно обобщенных скоростей многочлен

и член, не зависящий от обобщенных скоростей

Следовательно,

Установим классификацию механических систем по признаку реономности и склерономности, имеющую большое значение для всего дальнейшего.

Из предыдущего видно, что в случае реономности связей, наложенных на систему, в формулы, выражающие декартовы координаты через обобщенные координаты входит явно время (хотя бы даже только для одного значения . В выражение кинетической энергии в обобщенных координатах входят все три слагаемые. Затем предположим еще, что зависимость от и такова, что коэффициенты (хотя бы один) будут зависеть явно от времени

Тогда выражение кинетической энергии Т в обобщенных координатах будет содержать время явно. Механическую системув таком случае назовем вполне реономной системой, так как она реономна и в декартовых, и в обобщенных координатах.

Но может случиться, что система, будучи реономной в декартовых координатах, в обобщенных координатах окажется не зависящей явно от времени Такую систему можно назвать или полуреономной системой или склерономной системой в обобщенных координатах, хотя в выражении кинетической энергии Т находятся все три слагаемые.

Если же система в декартовых координатах склерономна, т. е. в формулы перехода к обобщенным координатам время явно не входит, то систему можно назвать вполне склерономной или

склерономной системой. В этом случае выражение кинетической энергии Т содержит только квадратичный однородный многочлен относительно обобщенных скоростей

Следовательно, выражение кинетической энергии Т в различных вышеописанных случаях имеет следующие виды:

Реономная система (Т зависит от t явно).

Полуреономная система (Т не зависит от t явно).

Вполне склерономная система (Т не зависит от t явно).