§ 2. Реонеголономная геометрия

Для того чтобы рассматривать более общий случай реономных и одновременно неголономных систем, все введенные понятия должны быть расширены. Рассмотрим голономную механическую систему с степенями свободы, на которую дополнительно наложено неголономных реономных связей вида

Здесь где — число обобщенных координат; где — число неголономных связей.

Такие связи, наложенные на систему, означают, что скорости всех точек уже не могут быть произвольными; обобщенных скоростей связаны уравнениями связей, т. е. независимых обобщенных скоростей будет лишь Если в качестве независимых параметров принять неголономные координаты где

то все обобщенные скорости можно выразить через них следующим образом:

Уравнение (12) задает в каждый момент времени в каждой точке пространства -мерную поверхность, имеющую переносную скорость Ы. Это движущееся семейство -плоскостей назовем реонеголономной геометрией. Допустимые преобразования координат для

реонеголономных систем имеют вид

Все величины реонеголономной геометрии должны быть инвариантными по отношению к группе преобразований координат (13). Все свойства реонеголономной геометрии, так же как и реономной геометрии, определяются кинетической энергией системы:

Виртуальные перемещения реонеголономных пространств задаются равенствами:

Совокупность этих перемещений определяет -мерное многообразие виртуальных перемещений . Вектор принадлежит этому многообразию, если он изображается в виде: Выражение дает проекцию вектора у на подпространство виртуальных перемещений, где — связующий тензор виртуального многообразия .

Абсолютное смещение в неголономных координатах имеет вид

Фундаментальная квадратичная форма реонеголономной геометрии, определяемая кинетической энергией системы в неголономных координатах, имеет вид

Преобразуем это выражение в инвариантную форму. Дифференцирование выражения (15) по позволяет получить сильный вектор

Вторичное дифференцирование определит сильный фундаментальный тензор Его введение позволяет рассмотреть векторы:

Штрихи под условными знаками относят эти векторы к подпространству виртуальных перемещений. Назовем их

соответственно абсолютной виртуальной скоростью и абсолютным виртуальным смещением. Тогда выражение (14) можно записать в виде

Коэффициент при

есть сильный вектор. Назовем его поперечной скоростью, так как, очевидно, ортогонален к X. Введенные величины используем для преобразования кинетической энергии системы в инвариантную форму

Пусть дано некоторое поле лежащее в X. В общем случае и не находится в подпространстве X. Назовем Х-дифференциалом выражение которое представляет проекцию обычного ковариантного дифференциала на подпространство X. Разность ковариантного дифференциала и Х-дифференциала

позволяет ввести два тензора вынужденного изгиба:

Найденные ранее инвариантные величины реонеголономной геометрии позволяют образовать сильный вектор который назовем центробежным вектором по аналогии с центробежной силой инерции. Для этого выберем два перестановочных смещения следующим образом. Пусть лежит в X. Очевидно, ортогонально к X. Рассмотрим выражение

Используя перестановочные отношения приведем уравнение (20) к виду

Отсюда

Для голономных систем

Тензор растяжения реонеголономного пространства можно ввести из условий перестановочности. Рассмотрим два поля векторов

перестановочных вдоль некоторой кривой, лежащей в X.

Продифференцировав выражение

получим

Проекция этого равенства на подпространство виртуальных перемещений имеет вид

Аналогичными вычислениями можно получить

Разность этих выражений равна

Используя условие перестановочности (11), получаем

Согласно выражению (19)

Таким образом, окончательно

Условие (23) определяет тензор растяжения реонеголономного пространства: