Глава VIII. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Общие понятия

Общее фазовое состояние механической системы при ее движении под действием некоторых сил определяется в каждый момент времени совокупностью величин: времени масс точек системы

заданных сил реакций связей радиусов-векторов точек скоростей точек ускорений точек и производных по времени до некоторого порядка рассмотрение которых при движении системы вызывается теми или иными причинами. В подобную совокупность входят некоторые массы и моменты инерции, обобщенные координаты и их производные по времени до порядка и время . В состоянии покоя системы значения всех производных по времени считаются равными нулю.

Представим совокупность бесконечно близких движений материальной системы, различающихся между собой тем, что каждое движение характеризуется каким-то определенным соотношением между всеми элементами фазового пространства; в частности и соотношениями между силами, массами и кинематическими элементами. Тогда можно доказать, что фактическое (истинное) движение, удовлетворяющее второму закону Ньютона

отличается от всех смежных, сравниваемых по некоторому признаку тем, что в процессе истинного движения некоторая динамическая функция от всех элементов

достигает стационарного значения, т. е. вариация этой функции, соответствующая выбранному признаку сравнения движений, для истинного движения равняется нулю

Вариационные принципы разделяются на два основных вида согласно следующему критерию: если функция есть непосредственно функция всех явно входящих в ее выражение переменных, то соотношение (1) называется дифференциальным вариационным принципом. Если же — функционал, т. е. функция является определенным интегралом, например по времени от некоторой другой динамической функции

то соотношение

выражает интегральный вариационный принцип.