§ 2. Линейный относительный интегральный инвариант Пуанкаре первого порядка
Если интерпретировать движение системы с 
степенями свободы как движение изображающей точки в 
-мерном пространстве состояний, то принцип Гамильтона — Остроградского можно сформулировать следующим образом:
для истинной траектории изображающей точки
При этом сравниваются действительная и возможные траектории, имеющие те же концы, что и действительная.
Вычислим теперь вариацию действия по Гамильтону, переходя от одной действительной траектории к другой, тоже действительной. Каждую траекторию будем определять некоторым параметром а, от которого зависит начальное положение изображающей точки, т. е. начальное состояние системы, задаваемое начальными значениями обобщенных координат 
и импульсов 
Время при вычислении вариации не варьируется, так как оно не зависит от а. Имеем
Так как вариации изохронны, то для операций варьирования и дифференцирования справедливы перестановочные соотношения
Тогда
и, следовательно,
Так как эти смежные траектории являются действительными, то при движении по ним выполняются уравнения Лагранжа, т. е.
Тогда
или, переходя к обобщенным импульсам,
Рис. 5
Так как оператор варьирования
то (2) можно представить в виде
или
где
Вообразим замкнутый контур начальных положений изображающей точки (начальных состояний системы), зависящих от параметра а, и построим для каждой совокупности начальных условий (для каждого значения а) траекторию изображающей точки. Тем самым получим некоторую трубку траекторий (рис. 5). Каждому значению времени 
соответствует некоторое сечение трубки траекторий (некоторый замкнутый контур положений изображающей точки). Для того чтобы контур начальных состояний системы был замкнутым, параметр а должен быть периодической функцией другого параметра, т. е. его начальное значение 
и конечное значение 
должны совпадать:
Тогда
Таким образом, из (3)
где I и II — контуры сечений трубки траекторий в моменты 
и соответственно. Отсюда
для любого момента времени. Полученный интеграл называется линейным относительным интегральным инвариантом Пуанкаре первого порядка или интегральным инвариантом Пуанкаре первого порядка.
