§ 12. Кинетические фокусы динамических систем и их применение к исследованию действия по Гамильтону на максимум и минимум

Принцип Гамильтона — Остро градского гласит, что действие по Гамильтону принимает в истинном движении стационарное значение сравнительно со значениями в варьированных движениях, сравниваемых с истинным при определенных условиях; но что при этом достигается — минимум или максимум — данный вопрос требует дополнительного исследования.

Для выяснения этого установлено понятие взаимно сопряженных точек в пространстве конфигураций механической системы. Такими точками Во и В называются точки, через каждую из которых одновременно (в момент для одной и для другой) проходят траектории двух бесконечно близких движений, у каждого из которых вариации координат в данных точках равны нулю, т. е.

Каждая из дьух сопряженных точек называется кинетическим фокусом системы по отношению к другой точке.

Для нахождения сопряженных точек из уравнений, выражающих движение системы и являющихся общим решением уравнений Лагранжа, т. е. из уравнений

произвольные постоянные следует выразить через начальные данные системы, т. е. найти зависимости

и найти такое частное решение, при котором вариации координат при равнялись бы нулю, т. е. удовлетворялись бы уравнения (28), или в развернутом виде:

Следовательно, уравнения (29) представляют систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных.

Для существования нетривиального решения этой системы необходимо и достаточно, чтобы детерминант системы равнялся нулю:

Из уравнения (30) можно найти при заданной а следовательно, определить положение точки , являющейся кинетическим фокусом относительно точки . Методами вариационного исчисления доказывается следующая теорема (при этом в качестве критерия привлекается вторая вариация действия по Гамильтону):

Теорема. Если в выражении действия верхний предел численно меньше , т. е. конечное положение достигается системой ранее того момента, который требуется для системы в варьированном движении, то функция достигает минимума на интервале (в частности на любом малом интервале). Если же совпадает с или превышает его, то на таком интервале функции 5 не принимает ни максимума, ни минимума.