Глава III. УРАВНЕНИЯ НИЛЬСЕНА

Рассмотрим мыслимые (возможные) движения материальной системы — системы с массами точек под действием тех же сил и с теми же связями, что и в истинном движении, но с различными кинематическими состояниями системы в тот или иной момент времени.

Кинематическое состояние системы выразим совокупностью векторов

Проварьируем каждое движение, сравнивая его с бесконечно близким движением, отличающимся от данного значением только вектора из совокупности (1), т. е. изменим только значение которого в двух сравниваемых движениях отличается на величину (изохронная вариация (вариации же всех остальных векторов равны нулю). Тогда получаем выражение вариационного дифференциального принципа Журдена, согласно которому во всякий момент времени истинное движение отличается от кинематически возможного тем, что в нем выполняется соотношение

где — равнодействующая активных сил, приложенных к материальной точке системы; — равнодействующая соответствующих сил реакций, приложенных к материальной точке системы.

Покажем, что из принципа Журдена следуют уравнения Нильсена аналогично тому, как из принципа Даламбера—Лагранжа получаются уравнения Лагранжа второго рода. Для вывода динамических дифференциальных уравнений Нильсена из (2) следует наложить на связи ограничения, выражающие их идеальность по Журдену:

т. е. элементарная мощность от сил реакций связей равна нулю.

Таким образом, рассматривается механическая система с реономными голономными идеальными двусторонними связями.

Других ограничений на связи не налагается. Следовательно, радиус-вектор каждой точки является функцией обобщенных координат и времени

Пусть число степеней свободы системы равно Тогда

Для вывода уравнений Нильсена используем выражение принципа Журдена в форме

Выразим вектор через обобщенные координаты и вариации обобщенных скоростей. Для этого продифференцируем (4) по времени

и найдем виртуальный дифференциал по скорости от вектора

Подставив (7) в (5) и изменив порядок суммирования, приведем (5) к виду

Далее используем особые соотношения, справедливые только для голономных механических систем. От обеих частей равенства (6) последовательно возьмем частные производные по обобщенным координатам и обобщенным скоростям. Тогда

Представим векторное выражение для ускорения точки с индексом т. е. составим полную производную от вектора

От обеих частей равенства возьмем частную производную по обобщенным скоростям:

Выражение (12) с помощью (9) примет вид

Выражения (10) и (13) являются искомыми соотношениями. На основании соотношения (10) уравнение (8) представим в форме

Рассмотрим теперь выражение кинетической энергии системы

Полная производная по времени от кинетической энергии:

Составим частные производные от Т по переменным и от

На основании соотношений (10) и (13) выражение (18) примет вид

Из (19) с помощью (17) получим

Учитывая (20), уравнение (14) изменяется следующим образом:

где

Здесь — обобщенные силы.

Уравнение (21) справедливо для любой совокупности величин Применяя это уравнение к таким их значениям, когда только одна обобщенная скорость получает приращение, отличное от нуля, а приращения остальных скоростей равны нулю, получим таких уравнений:

Уравнения (22) и называются уравнениями Нильсена — по имени немецкого ученого, впервые получившего их. По существу они представляют собой наряду с уравнениями Лагранжа второго рода правила составления динамических дифференциальных уравнений движения системы в обобщенных координатах.

Уравнения Нильсена представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно такого же числа обобщенных координат. После интегрирования уравнений Нильсена находятся обобщенные координаты как функции времени и произвольных постоянных:

Произвольные постоянные определяются по начальным данным, т. е. по заданным значениям обобщенных координат и обобщенных скоростей в начальный момент времени.

Существенное отличие уравнений Нильсена от уравнений Лагранжа второго рода состоит в появлении функции Т. Иногда приходится отдавать предпочтение именно уравнениям Нильсена, так как при составлении уравнений движения в некоторых конкретных задачах операция Нильсена быстрее приводит к цели, чем выполнение операции

Для примера рассмотрим вывод динамических дифференциальных уравнений движения твердого тела с одной неподвижной точкой с помощью уравнений Нильсена.

За обобщенные координаты выберем углы Эйлера

Представим кинетическую энергию тела в виде

где А, В, С — главные моменты инерщш тела; — проекции вектора мгновенной угловой скорости на оси, связанные с телом; при этом

(кликните для просмотра скана)

Составим уравнения Нильсена:

где — обобщенные силы, вычисляемые обычным образом.

Учитывая зависимости между обобщенными силами и моментами внешних сил относительно координатных осей, неизменно связанных с телом

дифференциальные уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой преобразуем к виду