Глава VI. МЕТОД ЯКОБИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА (ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ)

Этот метод состоит в том, что для выявления всех первых интегралов канонических уравнений Гамильтона достаточно проинтегрировать уравнение в частных производных первого порядка определенной структуры, т. е. найти полный интеграл этого уравнения. Тогда все интегралы уравнений Гамильтона найдем путем дифференцирований полного интеграла по независимым переменным и по постоянным, входящим в выражение полного интеграла.

§ 1. Основные понятия

Рассмотрим некоторую функцию от обобщенных координат механической системы и времени содержащую в своем выражении произвольные постоянные число которых равно числу всех переменных, включая время

Составим частные производные от функции по переменным Рассмотрим систему равенств, в левой части каждого из которых находится обозначение новой переменной величины — частной производной, а в правой — выражение этой переменной величины через

Присоединяя еще равенство (1), имеем систему, состоящую равенств. Из этой системы можно исключить все произвольные постоянные выражая их через

В результате исключения величин а. могут быть две возможности: или появится одно соотношение между

выражающее зависимость между ними:

или появится несколько зависимостей. В первом случае результат исключения произвольных постоянных, т. е. соотношение (3), называется дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных относительно функции как фукции от функция же выражаемая равенством (1), называется полным интегралом уравнения в частных производных первого порядка (3).

Во втором случае, когда в результате исключения всех произвольных постоянных появляется несколько соотношений между функцией и ее частными производными, можно считать, что не существует такого одного дифференциального уравнения, для которого заданная функция могла бы быть полным интегралом.

В качестве примера рассмотрим такое уравнение в частных производных:

Полный интеграл этого уравнения имеет вид

что нетрудно проверить непосредственно. Действительно,

Подставляя (6) в (4), получим тождество.

Нетрудно представить и вид дифференциального уравнения и его полного интеграла, частным случаем которых являются (4) и (5), а именно: уравнение

где некоторая произвольная функция от Полный интеграл этого уравнения имеет вид

где С определяется из соотношения

Представляет интерес и уравнение Кдеро:

Полный интеграл этого уравнения имеет вид

где — та же функция, что и в (7).

Сравнивая полные интегралы в обоих примерах, можно отметить следующую особенность: в первом случае одна из произвольных постоянных, входящих в выражение полного интеграла, находится в нем в аддитивном виде, т. е. не является коэффициентом при какой-либо функции от аргументов

Во втором же случае, в уравнении Клеро, в его полном интеграле нет ни одной аддитивной постоянной, каждая из них является множителем при одном из Это соответствует тому, что в первом примере в дифференциальном уравнении отсутствует искомая функция . В уравнении же Клеро функция входит в дифференциальное уравнение. Это характерно и для общего случая, т. е. если уравнение в частных производных первого порядка имеет вид

(уравнение не зависит явно от функции то в его полном интеграле одна из постоянных является аддитивной:

Рассмотрим теперь подробнее, какой вид примет уравнение в частных производных первого порядка (9) в этом случае. Очевидно, что из уравнений (2) нельзя найти все постоянные однако постоянных можно найти из последних уравнений (2). Исключая их из правой части первого из уравнений (2), получим уравнение в частных производных первого порядка вида

Функция определенная формулой (10), является полным интегралом последнего уравнения. Именно уравнения такого типа имеют большое значение в аналитической механике.