§ 4. Интегральные отношения инвариантности

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка от переменных:

где функции не равняются одновременно нулю и принадлежат классу в некоторой области пространства -измерений. Рассмотрим произвольную область -измерений в пространстве Через каждую точку области проходит одна интегральная кривая системы (1). Перемещая точки области вдоль соответствующих интегральных кривых, можно получить другую область -измерений Обозначим область -измерений, которая образована трубкой интегральных кривых системы (1), заключенной между областями Обозначим символом внешнюю дифференциальную форму степени определенную в области класса

Определение 1. Внешняя дифференциальная форма образует для системы (1) абсолютное интегральное отношение инвариантности, если, какова бы ни была область , следовательно, порождаемая ею область справедливо равенство

Форма образует относительное интегральное отношение инвариантности, если для выполнения равенства (2) область замкнута.

Дифференциальные системы типа (1) можно классифицировать по тому, какие они допускают интегральные отношения инвариантности. Ниже рассмотрены только те системы, которые удовлетворяют следующей теореме:

Теорема 1. Существует дифференциальная система переменных, допускающая квадратичное интегральное отношение инвариантности максимального ранга.

Действительно, пусть — квадратичная внешняя форма переменных. Ранг этой формы четный, максимальное его значение равно . В этом случае форму можно представить в канонической форме:

где формы Пфаффа о) — линейно независимы. Система, ассоциированная к форме состоит, следовательно, из системы Пфаффа:

которая эквивалентна дифференциальной системе (1) и только одна.

Связь между понятием интегрального инварианта и интегрального отношения инвариантности можно выразить с помощью следующих предложений:

Предложение 1. Если форма порождает интегральное отношение инвариантности для системы (1), форма определяет относительный интегральный инвариант, и наоборот.

Предложение 2. Если формы и порождают интегральные отношения инвариантности для системы (1), форма определяет абсолютный интегральный инвариант системы (1), и наоборот.

Рассмотрим механическую систему, положение которой определяется независимыми координатами Уравнения движения такой системы можно представить в виде

где — непотенциальные обобщенные силы.

Интеграл

как известно, называют действием по Гамильтону — Остроградскому.

Найдем вариацию действия в общем случае, когда начальные и конечные координаты не фиксированы, а являются функциями параметра а:

Выполняя стандартные вычисления, получаем следующую формулу для вариации действия в общем случае:

где

В случае, когда для любого а соответствующий путь является прямым, т. е. когда — семейство прямых путей, интеграл в правой части равенства (5) заменяем его значением согласно (3). Тогда формула (5) примет вид

Рассмотрим расширенное фазовое -мерное пространство, в котором координатами изображающей точки являются величины . В этом пространстве возьмем произвольную замкнутую кривую Со. Из каждой точки кривой Со, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из уравнений (3). Получим замкнутую трубку прямых путей. На этой трубке произвольно выберем вторую замкнутую кривую охватывающую трубку и имеющую с каждой образующей лишь одну общую точку. Интегрируя равенство (6) вдоль замкнутых кривых получаем

Применяя теорему Стокса к левой части равенства (7), получаем

Таким образом, согласно определению 1 настоящего параграфа, можно считать, что система (3) уравнений динамики допускает интегральное отношение инвариантности, образуемое внешней дифференциальной формой

Квадратичная внешняя дифференциальная форма от переменных допускает максимальный ранг Следовательно, существует единственная дифференциальная система переменных, допускающая соответствующее интегральное отношение инвариантности. Для получения этой системы составим ассоциированную систему к форме

Легко видеть, что ассоциированная система позволяет получить систему дифференциальных уравнений

Итак, обобщая известный принцип Э. Картана [6], сформулируем его в следующем виде:

Движение материальной системы с голономными связями управляется дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время, координаты, скорости; эти дифференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что они допускают интегральное отношение инвариантности, образованное внешней дифференциальной квадратичной формой

Исследуя форму , Ф. Галисо показал [19], что формуй (9), образующую интегральное отношение инвариантности, можно представить в виде суммы двух внешних формй которые вычисляются следующим образом:

а) — кинетическая часть внешней дифференциальной формы определяется как внешняя производная от кинетического потенциала который равен

или, если движение описывается в декартовых координатах,

Если в качестве модели материальной системы можно принять совокупность равномерно распределенных материальных точек одинаковой массой, то

б) динамическая часть внешней дифференциальной формы вычисляется по следующим формулам:

Применяя преобразования Лежандра, можно в форме перейти от канонических переменных к переменным Лагранжа. Тогда она примет вид

Рис. 8

или

где

Пример 1. Составить форму для случая движения однородного диска массой М, радиусом в вертикальной плоскости под действием силы веса Р (рис. 8).

Решение. Положение диска на плоскости определяется координатами его центра во и углом поворота 0. Представим радиус-вектор точки в подвижной системе координат Тогда

Из формул Пуассона

и окончательно

Скорость точки выразим в проекциях на подвижные оси:

Координаты точки в неподвижной системе координат:

где

Находим кинетический потенциал:

где

— кинетическая энергия диска, определенная по теореме Кёнига.

Кинетическая часть

Динамическая часть

где — проекции всех приложенных к системе сил на оси неподвижной системы координат.

Суммируя получим форму

Форма получена в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь порядок получения формы в обобщенных координатах.

Согласно формуле (4.15) для этого сначала надо найти кинетическую энергию системы и обобщенные силы, а затем вычислить коэффициенты, входящие в выражение (15).

Если в качестве обобщенных координат взяты кинетическая энергия диска

Вычислим коэффициенты:

Подставляя полученные коэффициенты в (15), находим