Главная > Основы аналитической механики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. Струнтура уравнений Лагранжа

Уравнения Лагранжа, приведенные в виде

выражают порядок действий, требующийся для составления динамических дифференциальных уравнений движения материальной системы в обобщенных координатах, т. е. дифференциальных уравнений относительно искомых обобщенных координат (при заданных обобщенных силах или наоборот (обратная задача).

Как следует из (59), для составления дифференциальных уравнений предварительно следует составить выражения частных производных от кинетической энергии по каждой обобщенной скорости и по каждой обобщенной координате При реономности изучаемой системы кинетическая энергия имеет вид

где

где коэффициенты и I являются функциями всех координат и времени Тогда

Для вычисления представим соотношение (60), заменив в первой сумме индекс суммирования на

Тогда

При вычислении полнойпроизводной по времени появляются вторые производные от обобщенных координат но они входят линейно. Обобщенные силы — суть некоторые заданные функции обобщенных координат, времени и, возможно, скоростей. Обобщенные скорости входят в уравнения через нелинейно (квадратично).

Таким образом, система уравнений Лагранжа представляет собой систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно Каждое уравнение можно представить в виде:

Здесь — функции от всех — функции от всех времени , возможно,

Вследствие линейности уравнений (61) относительно вторых производных их можно представить в разрешенном относительно вторых производных виде:

Как известно, первым интегралом системы уравнений второго порядка называется соотношение связывающее искомые функции их производные , возможно, время полная производная по времени от левой части которого должна равняться нулю тождественно вследствие дифференциальных уравнений, т. е.

если вместо подставить их выражения из дифференциальных уравнений (62).

Для общего решения системы дифференциальных уравнений необходимо и достаточно найти (независимых) первых интегралов этой системы:

Тогда общее решение найдется, если из этих уравнений выразить все в виде функций от и произвольных постоянных, т.е.

Произвольные постоянные находят по начальным данным системы, т. е. по начальным значениям координат и начальным значениям обобщенных скоростей Подставляя в и полагая имеем систему уравнений относительно

Из уравнений (65) найдутся все произвольные постоянные:

Подставляя (66) в (64), получаем конкретное решение, т. е. уравнения движения и распределение обобщенных скоростей соответственно начальным данным.

1
Оглавление
email@scask.ru