§ 6. Струнтура уравнений Лагранжа
Уравнения Лагранжа, приведенные в виде
выражают порядок действий, требующийся для составления динамических дифференциальных уравнений движения материальной системы в обобщенных координатах, т. е. дифференциальных уравнений относительно искомых обобщенных координат 
(при заданных обобщенных силах 
или наоборот (обратная задача).
Как следует из (59), для составления дифференциальных уравнений предварительно следует составить выражения частных производных от кинетической энергии по каждой обобщенной скорости 
и по каждой обобщенной координате 
При реономности изучаемой системы кинетическая энергия имеет вид
где
где коэффициенты 
и I являются функциями всех координат и времени 
Тогда
Для вычисления 
представим соотношение (60), заменив в первой сумме индекс суммирования 
на 
Тогда
При вычислении полнойпроизводной по времени 
появляются вторые производные от обобщенных координат 
но они входят линейно. Обобщенные силы 
— суть некоторые заданные функции обобщенных координат, времени и, возможно, скоростей. Обобщенные скорости 
входят в уравнения через 
нелинейно (квадратично).
Таким образом, система уравнений Лагранжа представляет собой систему 
дифференциальных уравнений второго порядка относительно 
Каждое уравнение можно представить в виде:
Здесь 
— функции от всех 
— функции от всех 
времени 
, возможно, 
Вследствие линейности уравнений (61) относительно вторых производных 
их можно представить в разрешенном относительно вторых производных виде:
Как известно, первым интегралом системы уравнений второго порядка называется соотношение 
связывающее искомые функции 
их производные 
, возможно, время 
полная производная по времени от левой части которого должна равняться нулю тождественно вследствие дифференциальных уравнений, т. е.
если вместо 
подставить их выражения из дифференциальных уравнений (62).
Для общего решения системы дифференциальных уравнений необходимо и достаточно найти 
(независимых) первых интегралов этой системы:
Тогда общее решение найдется, если из этих уравнений выразить все 
в виде функций от 
и 
произвольных постоянных, т.е.
Произвольные постоянные находят по начальным данным системы, т. е. по начальным значениям координат 
и начальным значениям обобщенных скоростей 
Подставляя в 
и полагая 
имеем систему уравнений относительно 
Из уравнений (65) найдутся все произвольные постоянные:
Подставляя (66) в (64), получаем конкретное решение, т. е. уравнения движения и распределение обобщенных скоростей соответственно начальным данным.
