§ 5. Действительные и возможные изменения переменных

После того как декартовы координаты точек и векторы выразятся на основании голономных связей через обобщенные координаты изменения данных векторов будут зависеть от изменения обобщенных переменных Но эти переменные могут зависеть не только от времени но и от некоторых параметров. Это может происходить потому, что обобщенные координаты могут находиться как функции времени, в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения системы.

Рис. 1

Но тогда найденные функции будут зависеть не только от времени но и от их начальных данных, т. е. от которые войдут в виде параметров в аналитические выражения функций Обозначим один из таких параметров а (другие параметры не выписываем). Тогда . Если изображать графически зависимость от то придется строить бесчисленное множество линий в зависимости от значений параметра а, которым соответствуют определенные графики; двум близким значениям а и а соответствуют две близкие линии (рис. 1).

Таким образом, необходимо различать два вида изменения переменного изменение по времени при фиксированном а

и другое, мыслимое, изменение по а при фиксированном Последнее обозначим . Оно выражает разность значений в двух возможных зависимостях, но, конечно, можно считать, что

Такое возможное (мыслимое) изменение переменного назовем «вариацией» этого переменного.

Подробнее свойства вариаций рассмотрены в гл. VII. Радиус-вектор точки, выраженный через является, следовательно, тоже функцией времени и параметра а:

Изменение по выражается дифференциалом изменение по а имеет вид

где

Вариацию радиуса-вектора точки можно считать также «возможным перемещением» точки. Таким образом, возможным перемещением точки называется всякое мыслимое бесконечно малое перемещение точки из ее положения в данный момент времени, допускаемое условиями связей в этот же момент.

Допустим, что движущаяся материальная точка, согласно склерономным связям, должна находиться в каждый момент времени в какой-то точке этой поверхности. Тогда все возможные перемещения точки из данного положения В представятся расположенными в плоскости, касательной к поверхности в данной точке, в виде бесконечно малых векторов с общим началом в данной точке В.

Если же связь, наложенная на точку, будет реономной, т. е. в уравнение связи войдет явно время то возможные перемещения точки для данного момента времени расположатся в касательной плоскости к данной поверхности в том ее виде, в каком она представится, если в уравнение поверхности вместо подставить его числовое значение, соответствующее данному моменту времени Например, для точки, вынужденной при движении находиться на поверхности сферы с уравнением возможные перемещения для момента сек расположатся в плоскости, касающейся сферы радиусом а в момент времени сек возможные перемещения будут находиться в плоскости, касающейся сферы большего радиуса, и т. Таким образом, понятие возможных перемещений есть вспомогательное, но как это показано ниже, понятие весьма полезное.

Действительным перемещением точки назовем фактическое, физически происходящее, бесконечно малое перемещение точки за бесконечно малый промежуток времени по ее траектории, выражающееся дифференциалом радиуса-вектора Действительное перемещение у точки может быть только одно. Оно происходит под действием сил, в числе которых должна быть обязательно и реакция связи. Между возможными и действительными перемещениями существуют простые соотношения, очевидные уже из определения данных понятий. При этом могут быть только две возможности.

При склерономной связи очевидно, что любое возникающее в момент действительное перемещение совпадает с одним из возможных перемещений, учтенных заранее. При реономных связях возникает другое положение: поверхность, на которой согласно условиям связи должна оставаться материальная точка, будет сама или перемещаться в пространстве, или деформироваться и при этом увлекать за собой точку.

Таким образом, у материальной точки в этом случае действительное перемещение может состоять из двух одновременных движений — возможного которое можно считать относительным (по отношению к связи), и переносного — вместе со связью. Все действительное перемещение описывается уравнением

Установлен, следовательно, важный факт: при реономной связи действительное перемещение точки не совпадает ни с одним из возможных перемещений.