§ 6. Степени свободы механических систем

Понятие возможных перемещений позволяет установить весьма полезное для изучения движений понятие числа степеней свободы материальной системы. Оно характеризует в некоторой мере ограничения, налагаемые связями на возможные движения.

Число степеней свободы свободной материальной точки равно трем, так как точка, на которую не наложены никакие связи, может перемещаться под действием приложенных к ней сил по трем независимым направлениям а следовательно, и по любому направлению в пространстве, так как для любого значения имеем

Тогда система из свободных материальных точек должна считаться обладающей числом степеней свободы, равным Но материальная точка, вынужденная двигаться, например, по абсолютно твердой поверхности, имеет уже не три, а две степени свободы. Колечко малых размеров, надетое на проволоку, или малых размеров шарик внутри трубки столь же малого диаметра имеет по одной степени свободы.

Таким образом, следует, что числом степеней свободы материальной системы должно называться число независимых вариаций обобщенных координат данной системы. Применим это понятие сначала к голономной системе.

Допустим, что на систему наложены только голономные связи, вследствие чего все декартовы координаты системы могут быть выражены через каких-либо обобщенных координат Тогда все действительные приращения независимы между собой и, следовательно, обобщенные координаты также независимы.

Следовательно, число степеней свободы системы с голономными связями равно числу обобщенных координат системы. Обозначаем число степеней свободы системы а число обобщенных координат для голономных систем (т. е. систем только с голономными связями) имеем

Для установления понятия числа степеней свободы при наличии неголономных связей рассмотрим сначала одно весьма существенное положение в теории связей, а именно, вывод уравнений связей в вариациях в обобщенных координатах.

Рассмотрим три случая.

а) На систему дополнительно наложена голономная, склерономная связь, выражаемая конечным уравнением относительно обобщенных координат, не содержащим времени

Составим полную вариацию (9). Получаем

так как справа величина постоянная, не зависящая ни от ни от какого-либо параметра. Слева имеем полный дифференциал (по параметру а). Представим его в раскрытом виде:

Появляется одно соотношение, связывающее вариации Это соотношение уменьшает число независимых вариаций, а следовательно, и число степеней свободы на единицу.

б) Рассмотрим голономную реономную связь: . Составим сначала полный дифференциал этой функции при действительном перемещении:

Составим теперь вариацию функции т. е. полный дифференциал в возможном изменении (при составлении этого дифференциала время следует считать фиксированным). Получаем

Следовательно, в этом случае, как и в случае склерономной связи, число независимых вариаций уменьшается на единицу. Одновременно можно, сравнивая (11) и (12), отметить, что действительные изменения не совпадают с вариациями Но в обоих случаях уменьшается не только число степеней свободы системы, но и число самих независимых координат

В случае неголономных связей происходит иное. Положим, что связь неголономна, линейна относительно обобщенных скоростей и реономна, т. е.

Умножаем обе части уравнения (13) на

Чтобы получить соотношение между вариациями, приведем, следуя Сингу, такое рассуждение: вариации являются мгновенными мыслимыми приращениями координат в определенный фиксированный момент времени , следовательно, при Итак, соотношение (14) приобретает вид

Таким образом, неголономная связь тоже уменьшает число независимых вариаций обобщенных координат, но не число обобщенных координат, так как уравнение (14) не интегрируется. Это — существенное обстоятельство.

Следовательно, если на систему, геометрическая конфигурация которой определяется независимыми обобщенными координатами, наложены еще и неголономные связи вида

то число степеней свободы системы уменьшается на

Следовательно, число степеней свободы системы с неголономными связями меньше числа обобщенных координат системы на число неголономных связей:

Следует также отметить, что возможен случай, когда, например, уравнение (15), представленное в вариациях, может быть проинтегрировано; но это не будет означать, что неголономная связь делается голономной.

Кинематическая связь, выражающаяся уравнением в действительных перемещениях, только тогда будет голономной, если проинтегрировать уравнение (14) в действительных перемещениях. Например, ввязь

или в дифференциалах

выразится уравнением в вариациях

Нетрудно заметить, что последнее уравнение интегрируется. Интеграл (18) есть

Однако соотношение (19), полученное интегрированием уравнения в вариациях (18), не эквивалентно уравнению связи (16), в чем легко убедиться, сравнив дифференциал уравнения (19) с (17), и не может считаться новой неголономной связью.