Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Общие вопросы изучения движенияКак показано в предыдущем параграфе, дифференциальные уравнения движения механической системы принадлежат ассоциированной системе внешней формы Для удобства последующих выкладок введем другие переменные:
и представим в них форму
Прежде чем перейти к непосредственному изучению ассоциированной системы, дадим некоторые определения [1]: Определение 1. Назовем характеристическим векторным полем формы
Так как форма Определение 2. Назовем первым интегралом ассоциированной системы к внешней форме Определение 3. Произвольная внешняя форма
Определение 4. Считаем, что
где Любой замкнутой форме Пфаффа
Теорема 1. Любому векторному полю нулю на интегральных Действительно,
Так как Изучение ассоциированной системы к форме Случай первый характеризуется тем, что Теорема 2. Если
Для доказательства воспользуемся формулой
Согласно определению Следовательно Скобки Ли, элемент касательного пространства, не равны нулю. Оператор
Полученный дифференциал, равный нулю на интегральных кривых ассоциированной системы, есть новый первый интеграл. Дальнейшее изучение производим, считая, что известна одна из полных систем векторных полей В качестве известной системы векторных полей, образующих инфинитезимальные преобразования, возьмем поля, предложенные С. Ли:
Ассоциированная система к форме
Подставляя значения коэффициентов в полученную систему, получаем систему С помощью векторных полей Ли можно найти другие векторные поля, образующие инфинитезимальные преобразования для формы Лемма Галисо. Можно выбрать бесконечным числом способов
Подставляя в (21) выражение для формы
(по повторяющемуся индексу Так как для определения
Тогда уравнения (22) представим в виде
Решая полученную систему линейных уравнений по правилу Крамера, находим искомые компоненты векторных полей:
где
Для нахождения остальных
В этом случае система уравнений (22) примет вид
искомые компоненты векторных полей определят из формул
где
Полученные векторные поля следующую систему, ассоциированную к форме
Примером получения явного вида дифференциальных уравнений движения является составление уравнений (26) для системы с двумя степенями свободы. Определитель системы имеет вид
где Уравнения (26) для системы с двумя степенями свободы имеют вид (см. скан) Вычисляем определители
Подставим полученные значения
Вычисляя определители
Переходя от переменных
Пример. Два однородных сплошных цилиндра общим весом
Рис. 9 предполагая, что трение в узле С отсутствует и цилиндры катятгя по опорам без скольжения (рис. 9). Решение. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираем абсциссу
Находим обобщенные силы:
Вычисляем коэффициенты, входящие в уравнения (28):
Подставляя полученные значения коэффициентов в уравнения (28), получаем
Случай второй характеризуется тем, что Сравнение формул (18) и (19) показывает, что если Теорема 3. Любому векторному полю X, образующему инфинитезимальные преобразования для формы Например, пусть
Тогда из формулы (18) получаем
Следовательно, Теорема 3 дает возможность по известным векторным полям, образующим инфинитезимальные преобразования для формы
|
1 |
Оглавление
|