§ 5. Общие вопросы изучения движения

Как показано в предыдущем параграфе, дифференциальные уравнения движения механической системы принадлежат ассоциированной системе внешней формы образующей интегральное отношение инвариантности. Следовательно, исследование дифференциальных уравнений движения механической системы сводится к изучению ассоциированной системы внешней формы

Для удобства последующих выкладок введем другие переменные:

и представим в них форму

Прежде чем перейти к непосредственному изучению ассоциированной системы, дадим некоторые определения [1]:

Определение 1. Назовем характеристическим векторным полем формы такое векторное поле , компоненты которого удовлетворяют уравнениям

Так как форма имеет ранг то характеристическое векторное поле Е определяется уравнением (17) с точностью до числового множителя, который выберем так, чтобы

Определение 2. Назовем первым интегралом ассоциированной системы к внешней форме любую форму Пфаффа, которая равняется нулю на интегральных кривых характеристической системы.

Определение 3. Произвольная внешняя форма степени допускает инфинитезимальные преобразования, порождаемые векторным полем если производная Ли от формы по отношению этого векторного поля равна нулю, т. е.

Определение 4. Считаем, что элементов образующих инфинитезимальные преобразования для формы образуют полную систему, если

где — числовая функция, .

Любой замкнутой форме Пфаффа , равной нулю на интегральных кривых ассоциированной системы к форме соответствует векторное поле компоненты которого — решение системы уравнений

Теорема 1. Любому векторному полю соответствует форма Пфаффа равная нулю на интегральных кривых ассоциированной системы к форме обратно, любой форме Пфаффа, равной

нулю на интегральных ивых ассоц и ированно й системы, соответствует векторное поле

Действительно,

Так как то . Это показывает, что принадлежит подпространству ассоциированных форм к следовательно, форма равна нулю на интегральных кривых ассоциированной системы.

Изучение ассоциированной системы к форме разбивается на два случая:

Случай первый характеризуется тем, что

Теорема 2. Если соответствуют инфинитезимальному преобразованию и первому интегралу ассоциированной к форме системы, то скобки Ли соответствуют другому первому интегралу ассоциированной системы, который имеет вид

Для доказательства воспользуемся формулой

Согласно определению так как векторное поле X образует инфинитезимальное преобразование. Согласно определению , так как векторное поле X создает первый интеграл.

Следовательно .

Скобки Ли, элемент касательного пространства, не равны нулю.

Оператор приложенный к форме дает, следовательно, дифференциал функции переменных Он вычисляется непосредственно

Полученный дифференциал, равный нулю на интегральных кривых ассоциированной системы, есть новый первый интеграл.

Дальнейшее изучение производим, считая, что известна одна из полных систем векторных полей , образующих инфинитезимальные преобразования для формы

В качестве известной системы векторных полей, образующих инфинитезимальные преобразования, возьмем поля, предложенные С. Ли:

Ассоциированная система к форме при использовании векторных полей Ли имеет вид

Подставляя значения коэффициентов в полученную систему, получаем систему уравнений Лагранжа второго рода, последнее уравнение является следствием остальных.

С помощью векторных полей Ли можно найти другие векторные поля, образующие инфинитезимальные преобразования для формы Сначала рассмотрим метод, предложенный Ф. Галисо.

Лемма Галисо. Можно выбрать бесконечным числом способов векторных полей таких, что

Подставляя в (21) выражение для формы получаем уравнения для нахождения векторных полей

(по повторяющемуся индексу нет суммирования).

Так как для определения компонент векторных полей имеем уравнение, то компонент можно задать произвольно. Сообщим им следующие значения:

Тогда уравнения (22) представим в виде

Решая полученную систему линейных уравнений по правилу Крамера, находим искомые компоненты векторных полей:

где — определитель системы; — определитель, получаемый из определителя системы заменой столбца столбцом из свободных членов. Определитель системы имеет вид

Для нахождения остальных векторных полей сообщим произвольным компонентам следующие значения

В этом случае система уравнений (22) примет вид

искомые компоненты векторных полей определят из формул

где - определитель системы (25), равный

Полученные векторные поля позволяют получить

следующую систему, ассоциированную к форме

Примером получения явного вида дифференциальных уравнений движения является составление уравнений (26) для системы с двумя степенями свободы. Определитель системы имеет вид

где

Уравнения (26) для системы с двумя степенями свободы имеют вид

(см. скан)

Вычисляем определители

Подставим полученные значения в первое уравнение системы (27):

Вычисляя определители и подставляя их в (27), получаем остальные уравнения:

Переходя от переменных к обобщенным координатам и преобразуя полученную систему, ее можно представить в следующем виде:

Пример. Два однородных сплошных цилиндра общим весом жестко закрепленные на оси, толщиной и массой которой можно пренебречь, образуют скат, опирающийся на горизонтальные опоры. На той же оси свободно насажен тонкий стержень длиной несущий на конце точечный груз А весом Определить движение системы, пренебрегая массой стержня и

Рис. 9

предполагая, что трение в узле С отсутствует и цилиндры катятгя по опорам без скольжения (рис. 9).

Решение. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираем абсциссу точки С и угол отклонения стержня от вертикали. Обозначив общую массу цилиндров, а массу груза А, приведем выражение для кинетической энергии системы:

Находим обобщенные силы:

Вычисляем коэффициенты, входящие в уравнения (28):

Подставляя полученные значения коэффициентов в уравнения (28), получаем

Случай второй характеризуется тем, что

Сравнение формул (18) и (19) показывает, что если то системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих инфинитезимальные преобразования и векторные поля X, соответствующие первым интегралам, одинаковы. Отсюда следует теорема:

Теорема 3. Любому векторному полю X, образующему инфинитезимальные преобразования для формы соответствует первый интеграл, и наоборот.

Например, пусть Инфинитезимальные преобразования для формы образуются векторным полем с компонентами

Тогда из формулы (18) получаем

Следовательно, Это показывает, что величина должна быть функцией одной переменной обозначим ее и тогда получим интеграл Пенлеве: . В случае, когда получаем классический интеграл

Теорема 3 дает возможность по известным векторным полям, образующим инфинитезимальные преобразования для формы находить первые интегралы движения механических систем.