Глава XIV. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РЕОНОМНЫХ СИСТЕМ

Механика реономных систем является одним из важнейших разделов аналитической механики. Существующие уравнения аналитической механики, которые можно использовать для описания движения реономных систем, имеют существенный недостаток — они не инвариантны по отношению к группе преобразований координат, содержащей время. Уравнения Лагранжа второго рода по форме, безусловно, инвариантны по отношению к кинематическим преобразованиям координат, однако отдельные части уравнения Лагранжа не являются инвариантными величинами. Для того чтобы обойти эту трудность, использована тензорная форма записи уравнений движения механических систем. Это позволяет, во-первых, добиться инвариантности полученных уравнений по отношению к группе преобразований координат и, во-вторых, получить наиболее компактный вид уравнений движения.

§ 1. Реономная геометрия

Для решения задачи используем геометрическое представление реономной системы как точки в деформирующемся пространстве, метрика которого определяется зависящей от времени кинетической энергией системы, подобно представлению склерономных систем в римановом пространстве конфигураций. Теорию таких деформирующихся пространств называют реономной геометрией. Все величины, образующие структуру реономной геометрии, должны быть инвариантными по отношению к группе преобразований координат, содержащей время.

Для этого все величины реономной геометрии должны быть сильными тензорами. Назовем сильным (контрвариантным) вектором систему величин , которые при кинематическом преобразовании

преобразуются так же, как обычный тензор при геометрическом преобразовании

Иными словами

как в случае преобразований (1), так и в случае преобразований (2). Полезно отметить, что не является сильным вектором, так как

Аналогично могут быть образованы сильные тензоры различного ранга и вида. Практически сильный тензор может быть образован следующим построением. Пусть задан сильный тензор V, зависящий от и Тогда производная от сильного тензора V по есть также сильный тензор. Действительно, так как

и не зависит от Поскольку V есть сильный тензор,

Дифференцируя это равенство по получаем

Это свойство используем для построения структуры реономной геометрии. Метрика реономной геометрии определяется кинетической энергией системы

Поскольку как величина механическая инвариантна по отношению к группе преобразований координат (1), дифференцируя по образуем сильный ковариантный вектор

Дифференцируя его еще раз по получаем ковариантный тензор

Введение взаимного тензора величины позволяет определить сильный контрвариантный вектор

и бесконечно малый сильный контрвариантный вектор

который назовем абсолютным элементарным смещением.

Выражение квадратичной дифференциальной формы в инвариантных величинах примет вид

Подобно тому, как в римановой геометрии можно ввести понятие абсолютного дифференциала, в реономной геометрии вводится понятие сильного ковариантного дифференциала:

где

Представив выражение сильного диффгренциала в инвариантной форме, получим

Коэффициент при аналогичный римановой ковариантной производной, назовем сильной производной по

Коэффициент при

назовем сильной производной по времени

Это позволяет представить дифференциал любого тензора в виде

Особенностью реономного пространства является изменение его линейного элемента с течением времени. Мерой растяжения реономного пространства служит так называемый тензор растяжения, который может быть введен следующим образом. Рассмотрим скалярную функцию

где показывающую растяжение пространственного интервала во времени.

Вычисляя получаем

Выражение в круглых скобках обозначим

и назовем тензором растяжения. Это название оправдывается тем, что в случае выбора нормальной системы координат (все а. равны нулю)

и непосредственно определяет растяжение по длине. Тензор растяжения реономного пространства может быть введен также из условия перестановочности. Перестановочными в механике называются два смещения и удовлетворяющие условию

Для реономных систем добавляется еще условие:

Преобразуя эти условия в сильно инвариантные, при выборе нормальной системы координат, получаем