ПРИЛОЖЕНИЕ
О присоединенных интегралах дифференциальных уравнений динамических систем
Присоединенным (или условным по 
Биркгоффу) называем интеграл, являющийся следствием других интегралов, но не тождественный им. Приведем пример: в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой под действием силы собственного веса движение тела описывается уравнениями Эйлера и уравнениями Пуассона относительно шести неизвестных функций:
Система (1) — (2) имеет первые интегралы:
Отсюда
Для получения четвертого интеграла применим тождество:
Для проверки тождества (6) раскрываем в нем скобки, умножая слева направо, и получаем тождественный ноль. Действительно, все слагаемые попарно взаимно уничтожаются. Каждую пару таких слагаемых обозначаем одним номером (со штрихом и без штриха):
Следовательно,
С другой стороны, в левой части равенства (6), можно принять с учетом интегралов (4) и (5):
Тогда равенство (6) перейдет в соотношение
После замены в (9) производных 
их выражениями из уравнений Пуассона (2) уравнение (9) перейдет в соотношение между только искомыми функциями 
Это соотношение и будет четвертым интегралом систем (1) и (2); оно имеет вид
Пользуясь найденными четырьмя интегралами, сможем выразить четыре искомых переменных из шести 
через другие два. Тогда система шести уравнений (1) и (2) преобразуется в систему двух уравнений, для которых обязательно найдется интегрирующий множитель. Тогда получится пятый интеграл. Благодаря этому из системы основных шести уравнений, не содержащих явно времени 
, найдутся все искомые 
в функциях времени, т. е. вся задача будет доведена до конца в виде квадратур. Здесь могут иметь место как эллиптические интегралы, так и Абелевы интегралы.
Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда 
т. е. рассмотрим движение тела с горизонтальным кинетическим моментом.
Характерной особенностью интеграла (10) является отсутствие у него произвольной постоянной, как и в интеграле (5). Но соотношение (10) может быть присоединено к трем интегралам (3), (4), (5).
Затем для окончательного решения задачи при наличии четырех интегралов следует поступить так, как это описано в § 11 о теории последнего множителя в гл. XIII; а также в книге Н. Н. Бухгольца «Основной курс теоретической механики», ч. II, стр. 117—119.
Можно рекомендовать выполнить все решение в два приема: систем при нулевых значениях постоянных 
в интегралах энергии (3) и кинетического момента (4), а затем уже и в общем случае.
Примеры на теорему Пуассона
1. Известно, что функция Гамильтона имеет вид
Проверить по условию Пуассона, является ли функция 
вида
первым интегралом канонических уравнений, соответствующих данной функции Я. Применяем условие Пуассона, согласно которому первый интеграл должен удовлетворять условию
В данном случае
Составляем скобку Пуассона:
Имеем
Подставляем (2) в (1), имеем
или
Таким образом, функция 
есть первый интеграл 
2. Проверить это же условие Пауссона для функций
Если данные функции будут интегралами, то проверить теорему Пуассона о трех интегралах.
