§ 2. Вычисление вариации действия
Пусть функция Лагранжа имеет вид 
(или сокращенно 
Интеграл
принято называть действием за промежуток времени 
где 
произвольные моменты времени. Очевидно, каждой кривой у, заданной уравнениями
ставится в соответствие определенное значение 
. Поэтому обозначим
Рассмотрим группу преобразований 
более общего вида, чем (1), когда функции 
содержат производные обобщенных координат 
Формулы
или в развернутой форме
представляют бесконечно малое преобразование группы, 
— бесконечно малые параметры.
Считаем, что все 
имеют один порядок малости 
ясно, что 
величины того же порядка. Преобразование (5) переводит кривую у в близкую кривую у, определяемую уравнениями
Вдоль каждой кривой у
При этом преобразовании интегралу (4) ставится в соответствие интеграл
где 
интервал интегрирования, соответствующий интервалу 
в прежних переменных.
Теперь задача состоит в том, чтобы вычислить вариацию интеграла 
т. е. главную линейную относительно 
часть разности
В первом интеграле перейдем от переменных 
к переменным 
и с точностью до величин первого порядка малости
Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь членами первого порядка относительно 
получаем
Тогда
Приведенные члены представляют собой главную линейную относительно 
часть разности, т. е. вариацию интеграла 
Преобразуем это выражение, предварительно заметив, что
поскольку формулы (5) включают преобразование независимого переменного 
Введем новые величины 
такие, что
Они учитывают изменения функций 
при данном значении 
Очевидно,
Используя разложение
с точностью до членов первого порядка, имеем
Учитывая (7), получим 
Найдем связь между 
. С точностью до малых первого порядка
Итак,
Используя (11), представим (8) в виде
или с учетом (10)
Преобразуем выражение
и, подставив его в (12), получим
Окончательно,
Соотношение (13) и есть основная формула для вариации действия 
Подставляя вместо 
их выражения из (6), представим (13) в виде
Здесь
Таким образом, если даны интеграл (4) и группа преобразований 
причем бесконечно малое преобразование группы имеет вид (6), то вариация интеграла 
представляется формулой (14).
