§ 6. Вывод основных законов сохранения в механике

Пользуясь видом подынтегральной функции в интеграле (4), с помощью теоремы Нетер можно найти функции, сохраняющие постоянные значения вдоль каждой траектории системы, т. е. законы сохранения.

1. Закон сохранения энергии

Рассмотрим, что дает теорема Нетер в случае, когда функция Лагранжа механической системы не зависит явно от времени, т. е. (система не обязательно склерономна). Независимость от означает, что интеграл (4) инвариантен в обычном смысле относительно бесконечно малого преобразования:

Действительно, левая часть (22) равняется нулю, поэтому Из (28) получаем первый интеграл уравнений движения в виде

Это соотношение, как известно, называется обобщенным интегралом энергии или интегралом Якоби.

Для склерономной системы (35) является обычным законом сохранения механической энергии.

2. Закон сохранения обобщенного импульса

Пусть не зависит от координат. т. е. они являются циклическими координатами. В этом случае бесконечно малое преобразование

оставляет инвариантной функцию Лагранжа, так как при нем равняются нулю левые части уравнений

Используя формулы (27), получаем первых интегралов:

т. е. с помощью теоремы Нетер получили известный результат: обобщенные циклические импульсы при движении системы остаются постоянными.

Покажем теперь, что законы сохранения количества движения и кинетического момента системы могут быть получены из равенства (37) для циклических координат.