§ 9. Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана
Рассмотрим полную вариацию 
действия по Гамильтону, сравнивая, как в § 2, действительные траектории, отличающиеся начальными условиями, т.е. значением параметра а, от которого зависят начальные условия. Имеем
Так как смежные траектории являются действительными, то получим, повторяя вычисления § 2,
Используя связь между полной и изохронной вариациями
а также выражение для функции Гамильтона 
представим предыдущее равенство в виде
Рассматривая, наконец, зависимость фазовой траектории от параметра а при условии, что начальное 
и конечное 
значения его совпадают, и беря интеграл от полной вариации действия по Гамильтону в пределах от 
до 
получаем
или
Полученный интеграл называется интегральным инвариантом Пуанкаре—Картана. При его вычислении рассматривается трубка траекторий в расширенном фазовом пространстве, включающем в качестве координат, кроме обобщенных координат 
и обобщенных импульсов 
еще время 
а контур, по которому ведется интегрирование, не обязательно является контуром одновременных состояний.
Если же интегрирование вести по контуру одновременных состояний, то интегральный инвариант Пуанкаре—Картана (18) переходит в интегральный инвариант Пуанкаре (4).
