Глава XIII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. Определение интегральных инвариантов
Как известно, законы сохранения (инвариантности) играют в механике большую роль. Важное значение имеют, в частности, так называемые интегральные инварианты, введенные впервые Пуанкаре [11].
Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений
которые можно рассматривать как уравнения движения точки с координатами 
в 
-мерном пространстве. Если рассмотреть такие точки, занимающие в начальный момент -мерную область 
то и в последующие моменты они будут занимать тоже 
-мерную область 
Вычисленный по этой области 
-кратный интеграл от некоторой комбинации решений системы (1) называется, согласно Пуанкаре, интегральным инвариантом порядка 
если он сохраняет свое значение для любого момента времени. Так, например, если материальная точка движется в плоскости по инерции, то дифференциальные уравнения ее движения можно представить в виде
а их решение
Интеграл
вычисленный по отрезку кривой четырехмерного пространства 
представляющему собой геометрическое место точек, занимавших в начальный момент заданный отрезок кривой, является интегральным инвариантом. Действительно, так как
то
величина 
не зависит от 
(пример заимствован с некоторыми изменениями из [4]).
Если, как в рассмотренном примере, интегральный инвариант обладает свойством инвариантности для любого выбора области начальных условий, то он называется абсолютным. Если же область интегрирования должна быть замкнутой, то соответствующий интегральный инвариант называется относительным.
Пуанкаре [11] широко применял интегральные инварианты для изучения движения небесных тел, в частности для изучения устойчивости асимптотических и двояко-асимптотических движений в задаче трех тел. Новые выводы в задаче трех тел с помощью теории интегральных инвариантов получил Шази. Важные результаты для изучения движения астероидов и комет дали исследования Вилькенса. Интегральные инварианты нашли применение в статистической физике, в квантовой механике и в качественной теории дифференциальных уравнений. В дальнейшем ограничимся лишь линейными интегральными инвариантами.
