§ 6. Теорема Пуассона о трех интегралах канонических уравнений

Переходим к доказательству одного из замечательных положений "аналитической механики — теоремы, высказанной Пуассоном и состоящей в следующем утверждении:

Если известны два первых интеграла канонических уравнений Гамильтона

не находящихся во взаимной инволюции, то скобки Пуассона от этих интегралов являются тоже интегралом уравнений Гамильтона.

Для доказательства данной теоремы применим сначала условие Пуассона для каждого из данных интегралов, т. е.

Затем рассмотрим тождество Якоби для трех функций

Но из (19)

Подставляем (21) и (22) в (20):

Переставляя члены в первых и третьих скобках и изменяя при этом знаки перед этими сложными скобками, после умножения (23) на —1 получаем

Так как первые два слагаемых выражают частную производную по времени от скобок последнее тождество можно представить в следующем виде:

Если функции и не находятся в инволюции, то выражение представляет собой некоторую третью функцию

которая, таким образом, удовлетворяет условию Пуассона для первого интеграла

Это показывает, что — тоже первый интеграл канонических уравнений. Теорема Пуассона доказана.

Теорема Пуассона, казалось бы, представляет важное средство интегрирования уравнений Гамильтона. Но, к сожалению, ее до сих пор не удалось применить к решению известных классических задач механики — задачи о движении твердого тела с одной неподвижной точкой, задачи трех тел в небесной механике и др. В этих задачах, как и в большинстве других классических задач механики, все известные интегралы находятся в инволюции и не могут быть использованы для получения новых интегралов.

Проверку теоремы Пуассона покажем на известных интегралах пространственной задачи Кеплера—Ньютона, т. е. для движения материальной точки под действием центральной силы . В этом случае, как известно из теоремы о моменте количества движения точки, траектория точки является плоской линией. Имеем

Следовательно,

или в проекциях на оси координат

Представим первые интегралы в переменных Гамильтона. Пусть

Тогда

где масса точки, и, следовательно,

Применим теорему Пуассона к двум первым интегралам:

Следовательно, — новый интеграл.

Рассмотрим теперь механическую систему, обладающую интегралом Якоби—Пенлеве, т. е. рассмотрим случай, когда функция Н явно не зависит от времени:

Положим, что известен первый интеграл явно зависящий от времени. Тогда функция удовлетворяет условию Пуассона

Дифференцируя это тождество по времени, получаем

Но по (25) второе слагаемое в (27) тождественно равно нулю и, следовательно,

Это показывает, что функция удовлетворяет условию

Пуассона для первого интеграла, т. е. является тоже первым интегралом уравнений движения системы.

Применяя это рассуждение далее, получаем следующие первые интегралы:

пока не получим интеграла, не зависящего явно от времени или же являющегося тождественным алгебраическим следствием уже известных интегралов.