§ 5. Гармонический осциллятор
Движение гармонического осциллятора описывается уравнением
решая которое, имеем
где
— постоянные, зависящие от начальных условий.
При вычислении интегральных инвариантов можно вводить зависимость от параметров не непосредственно начальных условий, а других величин, определяемых начальными условиями. Возьмем поэтому
где
при вычислении
и изменяется от 0 до
при вычислении
а изменяется от 0 до
Рассматривая кинетическую энергию в виде
найдем
Перейдем к вычислению интегральных инвариантов:
и
где
Таким образом,
В § 4 настоящей главы доказана инвариантность интегральных инвариантов при канонических преобразованиях координат. Убедимся в этом непосредственным вычислением интегральных инвариантов для гармонического осциллятора. В качестве производящей функции возьмем
Тогда
Откуда
Представим функцию Гамильтона для гармонического осциллятора:
где
— коэффициент восстанавливающей силы, а также преобразованную функцию Гамильтона:
Тогда канонические уравнения Гамильтона примут вид
откуда следует, что
причем
где Е — полная энергия осциллятора. Постоянные Е и у связаны с постоянными
зависимостями
Следовательно, соотношения (7) следует заменить соотношениями
Вычисляем интегральные инварианты:
и аналогично
Зависимость
и у от параметров
и а можно взять иначе, например
с такими же, как и в (7), значениями
.
Тогда
Этот результат, конечно, отличается от (8), так как взят другой контур начальных условий.