§ 5. Гармонический осциллятор

Движение гармонического осциллятора описывается уравнением

решая которое, имеем

где — постоянные, зависящие от начальных условий.

При вычислении интегральных инвариантов можно вводить зависимость от параметров не непосредственно начальных условий, а других величин, определяемых начальными условиями. Возьмем поэтому

где при вычислении и изменяется от 0 до при вычислении а изменяется от 0 до

Рассматривая кинетическую энергию в виде найдем

Перейдем к вычислению интегральных инвариантов:

и

где

Таким образом,

В § 4 настоящей главы доказана инвариантность интегральных инвариантов при канонических преобразованиях координат. Убедимся в этом непосредственным вычислением интегральных инвариантов для гармонического осциллятора. В качестве производящей функции возьмем

Тогда

Откуда

Представим функцию Гамильтона для гармонического осциллятора:

где — коэффициент восстанавливающей силы, а также преобразованную функцию Гамильтона:

Тогда канонические уравнения Гамильтона примут вид

откуда следует, что причем где Е — полная энергия осциллятора. Постоянные Е и у связаны с постоянными зависимостями

Следовательно, соотношения (7) следует заменить соотношениями

Вычисляем интегральные инварианты:

и аналогично

Зависимость и у от параметров и а можно взять иначе, например с такими же, как и в (7), значениями .

Тогда

Этот результат, конечно, отличается от (8), так как взят другой контур начальных условий.