§ 7. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил

Р Интегрирование уравнений движения и разработка методов нахождения их первых интегралов являются главнейшей задачей аналитической механики.

Эта задача несколько облегчается, когда непосредственно приложенные к точкам материальной системы силы, заданные в декартовых координатах, обладают силовой функцией, т. е.

где величины — функция от координат точка движется в стационарном не зависит явно от потенциальном силовом поле.

Тогда выражение обобщенной силы, имеющей первоначальное выражение в виде

или

приобретает вид

так как вся сумма в предыдущих формулах представляет собой частную производную от по выраженную через производные от промежуточных аргументов.

Большую роль в аналитической механике играет и другая функция, родственная с силовой функцией, — потенциальная энергия , связанная с силовой функцией соотношением При наличии силовой функции уравнения Лагранжа принимают вид

Так как силовая функция зависит только от обобщенных координат (зависимость от обобщенных скоростей в общем случае не установлена), можно выполнить следующие операции над каждым из уравнений. Перенесем налево с обратным знаком, затем прибавим к Т под знаком функцию не зависящую от

В результате левая часть каждого уравнения в (67) примет следующий вид:

Введем теперь в рассмотрение функцию называемую функцией Лагранжа. Через эту функцию уравнения Лагранжа в случае потенциальности сил приобретают вид

Поскольку можно представить в виде суммы трех форм То, то и может иметь вид где