§ 5. Бесконечно малые канонические преобразования

Частный случай точечного преобразования наблюдается когда фазовое пространство движущейся механической системы остается неизменными при движении системы подобно абсолютно твердому телу. Это может быть только тогда, когда фазовые

координаты каждой точки равны фазовым координатам преобразованного пространства.

Для этой цели производящая функция должна иметь вид

Действительно, уравнения преобразования в этом случае примут вид

Таким образом, при подобном преобразовании каждая точка фазового пространства остается неподвижной, и другие фазовые переменные и Р. тождественны первоначальным переменным Поэтому такое преобразование можно назвать «идентичным» (тождественным) преобразованием.

Используя идентичное преобразование, можно установить так называемое бесконечно малое преобразование канонических переменных, имеющее принципиальное значение в аналитической механике. Бесконечно малым преобразованием канонических переменных называется преобразование, переводящее каждую точку фазового пространства в бесконечно близкую точку. Иначе говоря, бесконечно малое преобразование должно выражаться следующими соотношениями между исходными и преобразованными координатами:

При этом вторые слагаемые в правых частях равенств (31) являются величинами первого порядка малости.

Доказательство существования такого преобразования естественно следует из того факта, что бесконечно малое преобразование является преобразованием, близким к идентичному преобразованию. Логично вытекает возможность использовать это обстоятельство, т. е. за производящую функцию искомого преобразования принять функцию , отличающуюся от производящей функции идентичного преобразования на бесконечно малую величину, выраженную через некоторую дополнительную функцию , того же вида, т. е.

где — бесконечно малая величина. Тогда уравнения искомого преобразования должны иметь вид (согласно второму виду)

или

Из (31) и (32) находим выражения приращений (действительных вследствии изменения всех переменных за время

Но

В правых же частях равенств (33) и (34) пренебрегаем малыми величинами порядка выше первого. Поскольку там находится малый множитель то, следовательно, под знаком производных можно отбросить малые величиныбр. и заменить Р. через Тогда уравнения (33) и (34) примут вид

Множитель можно принять за дифференциал времени

Функция является произвольной функцией от переменных . В частности, за функцию можно принять функцию Гамильтона, т. е. положить . В результате уравнения (35) и (36) примут вид

Но эти уравнения являются следствием канонических уравнений, выражающих движение механической системы под действием некоторых потенциальных сил:

Таким образом, установлен принципиальный факт: канонические уравнения движения системы выражают бесконечно малое непрерывное преобразование фазового пространства системы.

В теории бесконечно малых преобразований показывается, что точки касания поверхностей в одном пространстве переходят в точки касания соответствующих поверхностей в другом пространстве. На этом основании подобные преобразования называются контактными (преобразованиями соприкосновения).