Глава XI. МЕТОД НЕПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА В МЕХАНИКЕ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ
Метод Гамильтона—Якоби является мощным средством решения задач аналитической механики. Поэтому проблема интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби привлекала внимание выдающихся математиков и механиков; благодаря их работам достигнуты значительные успехи в применении метода Гамильтона—Якоби к решению задач механики голономных систем.
Первая попытка распространить метод Гамильтона—Якоби на неголономные системы принадлежит Кюанжелю. У нас к этой проблеме впервые проявил интерес С. А. Чаплыгин,
предложивший оригинальный, но довольно сложный метод ее решения. После появления работы С. А. Чаплыгина [13] в течение ряда десятилетий не было опубликовано ни одной статьи по проблеме применимости метода Гамильтона—Якоби в механике неголономных систем.
К этой проблеме возвратились вновь уже в наше время, в 40— 50 годы, благодаря исследованиям В. В. Добронравова предложившего свой метод решения проблемы, отличный от методов Кюанжеля и Чаплыгина.
Из последних работ по проблеме применимости метода Гамильтона—Якоби в механике неголономных систем следует отметить труды В. С. Новоселова [10], предложившего свой метод решения проблемы, который отличается от ранее известных.
Отметим, что приведенный обзор литературы является далеко неполным; более подробно с содержанием некоторых работ по механике неголономных систем можно ознакомиться в работах В. В. Добронравова [3], [7] и Б. Н. Фрадлина.
§ 1. Уравнения движения неголономных механических систем с линейными связями первого порядка
Пусть 
— минимальное число параметров — лагранжевых координат 
необходимое для задания геометрической конфигурации неголономной механической системы; 
— число степеней свободы этой системы; 
— число линейных неголономных связей первого порядка;
Уравнения связей (1) можно представить в разрешенном относительно зависимых обобщенных скоростей виде:
Уравнения движения неголономных механических систем с линейными неголономными связями (1) можно представить уравнениями Воронца:
где
а функции 0 и 
представляют результат исключения с помощью (2) из 
зависимых скоростей; 
выражение кинетической энергии, не преобразованное с учетом (2).
Уравнения движения неголономной механической системы (3) совместно с уравнениями связей (2) и составляют полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение неголономной механической системы с линейными связями первого порядка. Эта полная система дифференциальных уравнений состоит, следовательно, из двух групп уравнений: 
дифференциальных уравнений (3) второго порядка, линейных относительно независимых обобщенных ускорений 
и 
дифференциальных уравнений (2) первого порядка, линейных относительно обобщенных скоростей.
Таким образом, порядок системы дифференциальных уравнений (3), (2), описывающих движение неголономной механической системы с линейными связями, равен 
Следует отметить, что уравнения (3) всегда можно разрешить относительно независимых обобщенных ускорений и с учетом (2) представить их в форме
где 
— известные функции координат и времени.
Таким образом, полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение неголономной механической системы и линейными связями первого порядка можно представить системой уравнений (6) и (2).
