§ 1. Классификация кинематических связей

Наиболее общий вид кинематической связи может выражаться дифференциальным уравнением относительно их производных любого порядка и времени:

В аналитической механике рассматриваются главным образом только кинематические связи первого порядка и при этом линейные относительно скоростей, т. е. связи, выражающиеся уравнениями

где — некоторые функции от или координат в декартовых координатах:

Теория связей высших порядков относительно производных, а также нелинейной структуры относительно производных по времени рассматривается в механике неголономных систем [3]. В данной же книге рассматриваются голономные и неголономные связи первого порядка, линейные относительно

Голономными связями в механических системах называются связи, выражающиеся аналитическими или конечными (не дифференциальными) уравнениями относительно координат и времени т. е. уравнениями вида

или же дифференциальными, но интегрируемыми уравнениями в общем виде, приводящимися к конечным соотношениям, содержащим постоянные интеграции.

Например, связь при движении одной материальной точки является голономной. Она показывает, что при такой связи траектория точки располагается на конической поверхности с заданным уравнением.

Связь, выражающаяся дифференциальным уравнением интегрируема. Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Оно выражает семейство гиперболических параболоидов, седлообразные точки которых находятся на оси

Таким образом, при голономной связи точка движется по определенной поверхности.

Неголономными называются связи, выражающиеся неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями. Например, связь

— это дифференциальное уравнение, которое не нтегрируется в общем виде. Умножив его на получим

Невозможно найти такое семейство поверхностей, чтобы каждая траектория точки, удовлетворяющая уравнению связи, располагалась на какой-либо поверхности одного и того же семейства. Но можно проинтегрировать уравнение частным образом, путем подбора функций времени, удовлетворяющих уравнению например Траектория точки найдена, но утверждать, что она располагается на определенной, заранее заданной, поверхности, невозможно.

Склерономными называются связи, выражающиеся соотношениями (уравнениями), не содержащими явно времени Например, связь, выражаемая уравнением

является склерономной — уравнение связи не содержит явно времени . В случае склерономной связи материальная точка остается на поверхности, которая во времени не деформируется и не перемещается.

Если же связь явно зависит от времени, то ее называют реономной. Например, связь

— реономная, так как она явно зависит от времени Эта связь выражает следующий факт: точка в процессе движения остается на поверхности эллипсоида, одна полуось которого изменяет свою величину, т. е. точка остается на поверхности деформирующегося эллипсоида.

Связь

тоже является реономной. В данном случае центр сферы перемещается по оси со скоростью, равной 5 единицам, и сфера увлекает с собой точку находящуюся на сфере.

В свойствах движений склерономных и реономных систем и в методах их изучения имеются существенные различия.

Двусторонними являются связи, выражающиеся уравнениями (строгими равенствами). Например, связь показывает, что точка находится в каждый момент времени на определенной

поверхности и не может сойти с нее ни в какую сторону от поверхности — ни во внешнюю, ни во внутреннюю. Например, связь показывает, что материальная точка не может сойти со сферы ни в наружное пространство, ни во внутреннее. Материальная точка находится как бы между двумя бесконечно близкими сферами, не пускающими точку ни в ту, ни в другую сторону.

Односторонними называются связи, выражающиеся неравенствами. Таким образом, односторонняя связь показывает, что точка или находится на поверхности, или может покинуть ее, сойдя в ту или другую сторону. Например, связь показывает, что точка может или оставаться на сфере, или покинуть сферу во внутреннюю область сферы.

Двусторонние связи называются также удерживающими или неосвобождающими, односторонние — неудерживающими, освобождающими.

Реакциями связей считаются силы, приложенные к материальной точке со стороны тел и поверхностей, реализующих связи. Связями в настоящее время часто считаются и сами устройства, реализующие то или иное уравнение связи. В теории управления движениями и процессами связи часто называются также программами движения или процесса.