Глава IV. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

Уравнения Лагранжа представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных функций Но, как уже известно, такая система уравнений эквивалентна системе уравнений первого порядка с числом неизвестных функций, равным Для этой цели можно рассмотреть новых переменных при помощи соотношений

Но можно использовать новые дополнительные неизвестные функции таким образом, чтобы вся система уравнений имела другую, оригинальную структуру, и явилась основой новых методов изучения движений—методов, оказавших большое влияние на развитие не только аналитической механики и ее приложений, но и математического анализа, теоретической физики и других областей науки и техники. Эти новые переменные получили название обобщенных импульсов системы, они обозначаются и связаны с обобщенными координатами и скоростями следующим образом:

Таким образом, каждый обобщенный импульс выражается линейной дифференциальной формой относительно обобщенных координат. Выведем систему дифференциальных уравнений относительно переменных и Для этой цели используем функцию Гамильтона имеющую следующую структуру:

где — функция Лагранжа.

Для склерономных консервативных систем функция Гамильтона Н имеет простой физический смысл. Действительно, так как

и в соответствии с (2) имеем

Таким образом, функция Гамильтона для консервативных систем выражает полную энергию механической системы.

Для вывода уравнений, связывающих применим метод варьирования функции , рассматривая ее с двух точек зрения: как функцию переменных на основании (2) и как функцию от переменных — после исключения из

(2) переменных с помощью (1). На основании (2)

На основании (1) второе и четвертое слагаемые в (3) взаимно уничтожаются. В соответствии же с уравнениями Лагранжа

и, следовательно,

Составим теперь , полагая

Сравнивая (4) и (5), а также учитывая, что система голономна, а следовательно, все независимы, соотношения (4) и (5) действительны при любых значениях вариаций получаем следующую форму дифференциальных уравнений движения голономной механической системы:

Уравнения (6) и называются уравнениями аналитической динамики в канонических переменных или каноническими уравнениями Гамильтона.

Покажем применение уравнений Гамильтона на примере пространственной задачи Кеплера—Ньютона (рис. 4).

Материальная точка массой перемещается в гравитационном поле, создаваемом притягивающим центром массой М. Выведем канонические уравнения движения точки, считая притягивающий центр неподвижным.

Как известно, при движении материальной точки под действием центральной силы ее траектория является плоской линией. Однако рассмотрим движение в пространстве, что необходимо для установления положения траектории.

Пусть — координаты материальной точки в декартовой системе координат с началом в притягивающем центре О. Перейдем теперь к сферическим координатам где — расстояние от точки до центра

Рис. 4

притяжения, широта точки, отсчитываемая от экватора по меридиану до полюса; 6 — ее долгота.

Уравнения, связывающие декартовы координаты точки с ее сферическими координатами, имеют вид

Составим выражение кинетической энергии точки

или в сферических координатах

Согласно закону Ньютона, сила притяжения

где — гравитационная постоянная, единичный вектор радиуса-вектор точки. Обозначим через Найдем силовую функцию силы Так как элементарная работа силы притяжения отлична от нуля только на радиальном перемещении, то

где — проекция силы на направление Следовательно,

Полагая при получаем

Итак, силовая функция имеет вид а потенциальная энергия

Вычисляем импульсы, полагая Имеем

Функция Н принимает вид (в переменных )

Канонические уравнения движения точки

после выполнения дифференцирования в правых частях (9)

принимают окончательный вид:

Интегрирование полученной системы уравнений удобнее выполнить методом Гамильтона—Якоби, что показано в § 2 гл. VI.