§ 2. Производящая функция

Для вывода канонических преобразований предварительно заменим подынтегральную функцию в выражении действия по Гамильтону а именно: выразим функцию через функцию Гамильтона (см. (2), гл. IV):

Найдем формулы перехода от переменных к переменным , т. е. определим такие соотношения и соответственно выразим через чтобы канонические уравнения в переменных были эквивалентны каноническим уравнениям в переменных Это означает, что переменные и должны удовлетворять принципу Гамильтона — Остроградского также, как и переменные

где и — функции Лагранжа соответственно в переменных -Для дальнейшего удобно выразить функции

Лагранжа через соответствующие функции Гамильтона на основании соотношения (1), т. е.

и

Рассмотрим еще некоторую функцию от всех аргументов: а также полную производную от нее по времени учитывая, что переменные являются функциями времени, выражающими движение данной механической системы. Следовательно, функция ее производная по времени являются в конечном счете некоторыми функциями времени

Рассмотрим также определенный интеграл по времени от функции в некоторых пределах от до т. е.

где — определенное постоянное число, не зависящее ни от времени, ни от каких-либо параметров.

Рассмотрим также еще два интеграла, выражающие действие по Гамильтону, в переменных

Здесь под интегралами находятся функции от и а, которые должны удовлетворять принципу Гамильтона — Остро градского, т. е. соотношениями

В то же время интеграл удовлетворяет тождественно равенству

так как — определенное число не зависящее от параметра а, содержащегося в подынтегральных выражениях в

Равенства эквивалентны следующему:

или

Для того чтобы удовлетворялось равенство (5), необходимо и достаточно, чтобы подынтегральная функция представляла собой тоже производную по времени от некоторой функции

Приравниваем подынтегральное выражение в (5) некоторой функции затем перенесем налево с обратным знаком, тогда

где

Поскольку а также и являются произвольными функциями от то и является произвольной функцией от тех же аргументов:

Таким образом, чтобы удовлетворялось соотношение (5), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось следующее соотношение:

Для решения задачи о преобразовании канонических переменных следует в общем виде решить уравнение (6) относительно функций Задача, таким образом, является неопределенной. Поэтому считаем одну из функций произвольной. Удобнее за такую функцию принимать функцию Она называется производящей функцией (генератриссой), так как при ее посредстве находят искомые преобразования. Для выявления последних приведем выражение полной производной от в раскрытом виде, считая ее функцией всех и Тогда уравнение (6) примет вид

Для того чтобы это уравнение, которое можно назвать разрешающим, удовлетворялось, достаточно сгруппировать члены, содержащие Затем, приравнивая нулю коэффициенты при них и выражая К через остальные слагаемые, найдем при соответствующей структуре функции те или иные формулы, выражающие и через также выявится новая функция К Гамильтона. Функция же подбирается соответственно желаемому виду преобразований, т. е. зависимостей между с одной стороны, и с другой. Приведем наиболее простые и в то же время имеющие важное значение при изучении свойств движений механических систем четыре случая канонических преобразований переменных.