§ 2. Теорема Гамильтона — Якоби

Как известно из общей теории дифференциальных уравнений в чаетшх производных первого порядка, каждому уравнению соответствует некоторая система обыкновенных дифференциальных уравнений и задачи решения уравнения в частных производных, с одной стороны, и соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с другой — взаимосвязаны.

Для системы канонических дифференциальных уравнений Гамильтона тоже существует такое уравнение в частных производных и называется оно уравнением Гамильтона—Якоби. Применение этого уравнения к интегрированию уравнений аналитической механики в канонических переменных и составляет содержание так называемого метода Якоби (точнее — метода Гамильтона — Якоби).

Пусть — функция Гамильтона механической системы.

Рассмотрим теперь функцию

удовлетворяющую такому уравнению в частных производных

т.е. для составления этого уравнения в выражении функции Гамильтона все импульсы надо заменить частными произвэдными от до и составить уравнение (11а). Уравнение (11а) и носит название уравнения Гамильтона—Якоби.

Теорема Гамильтона—Якоби формулируется так: если известен полный интеграл урлзнения (11а) в виде определенной функции то все первых интегралов дифференциальных уравнений

имеют следующий вид:

где — новые произвольные постоянные.

Для доказательства того, что каждое из соотношений (13) и (14) является интегралом дифференциальных уравнений (12), достаточно выполнить соответствующую проверку, для чего необходимо продифференцировать каждое соотношение по времени и убедиться в том, что на основании уравнений (12) результат дифференцирования представляет собой тождественный нуль.

Рассмотрим сначала соотношения (13). Левая часть (13) может зависеть от времени двояким образом. Во-первых, время может входить в выражение явно; во-вторых, от времени зависят координаты Следовательно, в результате дифференцирования соотношения (13) получим

Каждое заменим теперь из уравнений (12), но с учетом того, что все надо заменить их выражениями из (14). Следовательно, (15) представим в виде

Необходимо доказать, что (16) есть тождество. Для этой цели подставим в уравнение (11а) вместо найденный полный интеграл Согласно смыслу полного интеграла, в результате подстановки появляется тождество.

Дифференцирование тождества по любому входящему в его структуру аргументу приводит тоже к тождеству. Продифференцируем тождество (17) по Данный аргумент входит и в функцию и в частные производные

После дифференцирования тождества (17) по а. появляется такое тождество:

Очевидно, что равенство (16) является тождеством, так как оно совпадает с тождеством (18). Итак, существование интегралов (13) доказано.

Аналогичным путем проведем доказательство для интегралов (14). С этой целью продифференцируем каждое соотношение в (14) по времени, учитывая тот факт, что время входит в правую часть (14) как явно, так и через переменные Следовательно,

Функции можно представить следующим образом:

Следовательно, равенство (19) примет вид

Для доказательства тождественности (20) рассмотрим опять тождество (17). Дифференцируя его по получим следующее тождество:

Но

Следовательно, соотношение (20) есть тоже тождество, так как оно совпадает с тождеством (21).

Итак, теорема Гамильтона—Якоби доказана.

Применим теорему Гамильтона—Якоби к интегрированию уравнений движения в пространственной задаче Кеплера—Ньютона, рассмотренной в гл. IV, где за обобщенные координаты выбраны сферические координаты точки

Функция Гамильтона Н задачи имеет вид

Тогда уравнение Гамильтона—Якоби представим следующим образом:

Уравнение (23) не зависит явно от времени Во всех таких случаях уравнение Гамильтона—Якоби упрощается путем следующей замены искомого полного интеграла

где — постоянная, — функция, не зависящая явно от времени

Тогда

и, следовательно, (23) примет вид

Найдем полный интеграл этого уравнения методом разделения переменных, т. е. в виде

где — функция от — функция от и — функция от Для нахождения этих функций подставим из (26) в уравнение (25). Тогда должно удовлетворяться соотношение

Выделим в этом уравнении члены, зависящие только от т. е. представим его в виде

или

Последнее соотношение должно удовлетворяться тождественно, так как оно есть результат проверки решения вида (26) для уравнения (25). Но для того чтобы (28) было тождеством, необходимо и достаточно, чтобы выражения, находящиеся по разные стороны знака равенства в (28) и выраженные через различные независимые переменные, были равны одной и той же постоянной величине, которую обозначим Следовательно,

Из (29) функция находится квадратурой

Далее, применим аналогичное рассуждение к уравнению (30). Оно может удовлетвориться тогда и только тогда, когда левая и правая части, зависящие от разных аргументов, равняются одной и тойже постоянной величине, которую обозначим т. е.

Из (32)

Аддитивные постоянные после квадратур можно опустить, так как функция входит в уравнение (25) только в виде производных.

Итак, функция имеет вид

Подставляя (34) в (24), находим функцию

Теперь составляем первую серию интегралов, приравнивая частные производные от 5 по постоянным другим постоянным

или

Движение системы найдено, так как из (36), (37), (38) все координаты можно выразить в функциях времени

Нетрудно составить, используя (35), и вторую серию интегралов:

Исследование траектории по этому решению можно найти в руководствах по небесной механике.