§ 8. Принцип Гаусса

Принцип Гаусса выражается уравнением, выводимым из уравнений движения системы, представляемых в виде

путем умножения каждого уравнения на вариацию ускорения и суммирования:

В таком виде принцип можно сформулировать следующим образом. Из всех возможных движений, различающихся ускорениями (при неварьируемых соотношение (9) удовлетворяется только в истинном движении.

Соотношение, выражающее принцип Гаусса, допускает весьма интересную физическую интерпретацию. Заметим, что вектор выражает истинное ускорение точки под действием силы и реакций связей Это ускорение обозначим — Тогда соотношение (9) примет вид

Поскольку приложенные силы и массы заданы и не могут варьироваться, вариацию можно представить в виде

Вынося множитель за скобку в выражении (10), имеем

Левую часть под знаком суммы можно представить в виде

Соотношение (11) можно представить теперь в виде

Содержание каждой малой скобки можно трактовать следующим образом: величина представляет собой ускорение, которое имела бы точка под действием активных сил если бы на нее не были наложены связи. Тогда выражение в круглой скобке представляет собой разность между ускорением свободного движения и ускорением действительного движения.

Поэтому Гаусс назвал «принуждением величину, находящуюся под знаком вариации в (12):

точнее мерой принуждения движения и сформулировал содержание соотношения (12) в виде принципа наименьшего принуждения: движение, осуществляющееся в действительности, таково, что величина принимает значение, наименьшее из всех возможных значений при движениях, совместных с данными кинематическими связями.

Пример. Два тела массами прикреплены к концам нерастяжимой нити, перекинутой через блок. Найти движение системы. Трением пренебрегаем.

Координаты тел подчинены связям

Если бы не было связи, то оба тела имели бы ускорения

При наличии же связей ускорения имеют вид

Составим принуждения по Гауссу, имеем

Ускорения должны быть такими, чтобы вариация принуждения была равна нулю:

т. е.

Составляем производную от по и приравняем ее нулю:

отсюда

Следовательно,