Главная > Основы аналитической механики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава XVI. ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В МЕХАНИКЕ

§ 1. Дифференцируемые многообразия

Наиболее общим понятием прсстранства в современной дифференциальной геометрии можно считать понятие дифференцируемого многообразия. Оно широко применяется и при современном изложении классической механики. Рассмотрим, например,

механическую систему, имеющую конечное число степеней свободы, например гироскоп. Положение этой системы можно определить с помощью конечного числа вещественных параметров . В действительности эта система параметров весьма произвольна, и очень редко удается все положения механической системы эффективно выразить через значения конечного числа параметров. Так, например, если положение гироскопа определяется углами Эйлера, то множество положений гироскопа не имеет параметрического представления.

В действительности множество положений механической системы можно определить как абстрактное многообразие, которое в случае гироскопа является трехмерным многообразием V класса Но это многообразие является абстрактным и, естественно, не погружено в аффинное пространство. Если, например, три угла Эйлера выбирают для определения положения гироскопа, то это означает, что рассматривается частная карта, представляющая только некоторое открытое множество многообразия, являющегося множеством положений гироскопа.

Основные положения теории дифференцируемых многообразий удобно рассмотреть на примере многообразий, вложенных в евклидово пространство. Пусть — непрерывные функции в открытом множестве -евклидового пространства Эти функции определяют многообразие которое складывается из таких точек для которых Оно называется дифференцируемым многообразием, если функции являются дифференцируемыми. Простыми примерами дифференцируемых многообразий являются следующие многообразия, вложенные в евклидово пространство: окружность в пространстве сфера, цилиндр в пространстве

Попытаемся изучить простейшее многообразие — окружность. Опишем, т. е. зададим, или параметризуем, отдельные точки окружности. Если окружность определена как множество точек, удовлетворяющих уравнению

то каждую точку можно задать указанием ее координат . Однако такое описание неудовлетворительно по двум причинам. Во-первых, излишне задавать обе координаты если задан, то решая уравнение (1), получаем поэтому окружность есть «одномерный» объект и для ее описания не требуется два параметра. Во-вторых, эти координаты зависят от положения окружности на плоскости. Если изучать окружность саму по себе, то нужно найти ее инвариантное описание. Однако один-единственный параметр не может удовлетворительным образом описывать всю окружность. Так, например, в случае использования полярного угла функция, сопоставляющая каждой точке соответствующий угол не непрерывна в нуле. Поэтому следует отказаться от попытки построения единого параметра, описывающего всю окружность и довольствоваться несколькими параметрами для разных кусков.

Рис. 6

Фактически на любом открытом интервале окружности можно пользоваться вещественным угловым параметром. Таким образом, окружность покрывается интервалами, в каждом из которых имеется соответствующий параметр или координата. Любому открытому интервалу окружности можно поставить во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие открытый интервал прямой в пространстве. Это соответствие дает параметрическое представление рассматриваемой части окружности, что позволяет при изучении ее геометрических свойств использовать теоремы классического анализа в пространстве.

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть в пространстве определено многообразие М. Обозначим Неоткрытую область этого многообразия М с центром в точке открытое множество в пространстве

Определение 1. Картой назовем область вместе с взаимно однозначным отображением подмножества множества М на (рис. 6).

Назовем изображением точки на карте Набор карт на многообразии М называем атласом, если области карт атласа покрывают все многообразие М; если — две области карт атласа и то координаты точки в одной из этих карт являются функциями с ненулевым якобианом от координат точки в другой карте.

Рассмотрим для примера построение атласа для многообразия заданного уравнением в пространстве

Возьмем точку Пусть — плоскость — точка плоскости и — точка пересечения прямой, соединяющей точку с точкой сферы Если то

Полученное дифференцируемое отображение отображает область сферы на открытую область (рис. 7). Таким образом, получили одну карту но так как область не охватывает всей сферы, то для ее изучения одной карты недостаточно. Взяв точку ), построим аналогичным образом вторую карту Эти две карты охватывают все точки многообразия и составляют атлас, определяющий дифференциальную структуру на

Слова «карта» и «атлас» взяты, очевидно, из картографии. Земная поверхность приближенно представляет собой сферу, и ее

Рис. 7

можно рассматривать как некоторая многообразие размерности два. Глобального параметрического представления этого многообразия, заданного в некотором открытом множестве из пространства не существует. Однако существует покрытие системой открытых множеств, каждое из которых является образом некоторой карты. Объединение этих карт составит атлас. Каждая «страница» атласа является открытым прямоугольником из пространства каждой точке прямоугольника ставится в соответствие некоторая точка Земли, т. е. определяется отображение Ф открытого прямоугольника на некоторое открытое множество многообразия

1
Оглавление
email@scask.ru