Глава XVI. ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В МЕХАНИКЕ

§ 1. Дифференцируемые многообразия

Наиболее общим понятием прсстранства в современной дифференциальной геометрии можно считать понятие дифференцируемого многообразия. Оно широко применяется и при современном изложении классической механики. Рассмотрим, например,

механическую систему, имеющую конечное число степеней свободы, например гироскоп. Положение этой системы можно определить с помощью конечного числа вещественных параметров . В действительности эта система параметров весьма произвольна, и очень редко удается все положения механической системы эффективно выразить через значения конечного числа параметров. Так, например, если положение гироскопа определяется углами Эйлера, то множество положений гироскопа не имеет параметрического представления.

В действительности множество положений механической системы можно определить как абстрактное многообразие, которое в случае гироскопа является трехмерным многообразием V класса Но это многообразие является абстрактным и, естественно, не погружено в аффинное пространство. Если, например, три угла Эйлера выбирают для определения положения гироскопа, то это означает, что рассматривается частная карта, представляющая только некоторое открытое множество многообразия, являющегося множеством положений гироскопа.

Основные положения теории дифференцируемых многообразий удобно рассмотреть на примере многообразий, вложенных в евклидово пространство. Пусть — непрерывные функции в открытом множестве -евклидового пространства Эти функции определяют многообразие которое складывается из таких точек для которых Оно называется дифференцируемым многообразием, если функции являются дифференцируемыми. Простыми примерами дифференцируемых многообразий являются следующие многообразия, вложенные в евклидово пространство: окружность в пространстве сфера, цилиндр в пространстве

Попытаемся изучить простейшее многообразие — окружность. Опишем, т. е. зададим, или параметризуем, отдельные точки окружности. Если окружность определена как множество точек, удовлетворяющих уравнению

то каждую точку можно задать указанием ее координат . Однако такое описание неудовлетворительно по двум причинам. Во-первых, излишне задавать обе координаты если задан, то решая уравнение (1), получаем поэтому окружность есть «одномерный» объект и для ее описания не требуется два параметра. Во-вторых, эти координаты зависят от положения окружности на плоскости. Если изучать окружность саму по себе, то нужно найти ее инвариантное описание. Однако один-единственный параметр не может удовлетворительным образом описывать всю окружность. Так, например, в случае использования полярного угла функция, сопоставляющая каждой точке соответствующий угол не непрерывна в нуле. Поэтому следует отказаться от попытки построения единого параметра, описывающего всю окружность и довольствоваться несколькими параметрами для разных кусков.

Рис. 6

Фактически на любом открытом интервале окружности можно пользоваться вещественным угловым параметром. Таким образом, окружность покрывается интервалами, в каждом из которых имеется соответствующий параметр или координата. Любому открытому интервалу окружности можно поставить во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие открытый интервал прямой в пространстве. Это соответствие дает параметрическое представление рассматриваемой части окружности, что позволяет при изучении ее геометрических свойств использовать теоремы классического анализа в пространстве.

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть в пространстве определено многообразие М. Обозначим Неоткрытую область этого многообразия М с центром в точке — открытое множество в пространстве

Определение 1. Картой назовем область вместе с взаимно однозначным отображением подмножества множества М на (рис. 6).

Назовем изображением точки на карте Набор карт на многообразии М называем атласом, если области карт атласа покрывают все многообразие М; если — две области карт атласа и то координаты точки в одной из этих карт являются функциями с ненулевым якобианом от координат точки в другой карте.

Рассмотрим для примера построение атласа для многообразия заданного уравнением в пространстве

Возьмем точку Пусть — плоскость — точка плоскости и — точка пересечения прямой, соединяющей точку с точкой сферы Если то

Полученное дифференцируемое отображение отображает область сферы на открытую область (рис. 7). Таким образом, получили одну карту но так как область не охватывает всей сферы, то для ее изучения одной карты недостаточно. Взяв точку ), построим аналогичным образом вторую карту Эти две карты охватывают все точки многообразия и составляют атлас, определяющий дифференциальную структуру на

Слова «карта» и «атлас» взяты, очевидно, из картографии. Земная поверхность приближенно представляет собой сферу, и ее

Рис. 7

можно рассматривать как некоторая многообразие размерности два. Глобального параметрического представления этого многообразия, заданного в некотором открытом множестве из пространства не существует. Однако существует покрытие системой открытых множеств, каждое из которых является образом некоторой карты. Объединение этих карт составит атлас. Каждая «страница» атласа является открытым прямоугольником из пространства каждой точке прямоугольника ставится в соответствие некоторая точка Земли, т. е. определяется отображение Ф открытого прямоугольника на некоторое открытое множество многообразия