Глава X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

Первые работы, посвященные интегрированию уравнения Гамильтона—Якоби, были опубликованы в середине прошлого столетия Лиувиллем.

Позже этой проблемой занимался ряд известных математиков и механиков, среди которых следует отметить В. Г. Имшенецкого, Морера, Леви-Чивиту, Бургатти,

Даль-Акква, Форбата и М. С. Яров-Ярового.

Благодаря их работам в решении этой проблемы достигнуты значительные успехи. Однако в учебной литературе обычно ограничиваются изложением случаев интегрируемости, полученных в прошлом веке, и почти не затрагивается история вопроса. Ниже кратко изложена история этого вопроса.

§ 1. Случаи Лиувилля и Штеккеля

Наиболее разработанным методом интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби является метод разделения переменных. Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда функция Гамильтона склерономной механической системы содержит только квадраты импульсов:

Тогда соответствующее уравнение Гамильтона—Якоби примет вид

где — произвольная постоянная (константа энергии).

Предположим, что переменные в уравнении (1) разделяются, т. е.

Тогда

Функции и введены для краткости. В соответствии с этими обозначениями (1) можно представить в следующем виде:

Последнее уравнение при подстановке в него полного интеграла обращается в тождество, имеющееся при произвольных значениях а. Дифференцируя в этом предположении (2) по получим систему линейных уравнений относительно функций

где

и функции введены также для краткости.

Определитель этой системы линейных неоднородных уравнений отличен от нуля. Действительно,

где ни одно из значений не может быть тождественно равно нулю, а

так как в противном случае произвольные постоянные окажутся зависимыми и, следовательно, не может быть полным интегралом. Разрешив (3) относительно получим

Тогда силовая функция задачи, если учесть (4) и соотношения

примет вид

Пусть -некоторая система значений произвольных постоянных, при которой

Для этих значений а функции переходят в определенные функции от переменной т. е.

В соответствии с этим (4) и (6) примут вид

где

Итак, сформулируем теорему Штеккеля: если уравнение Гамильтона—Якоби (1) допускает разделение переменных, то имеется функций

каждая из которых зависит лишь от одной переменной, обладающих свойством, что можно представить при помощи соотношений (7).

Пусть теперь, наоборот, существуют произвольных функций и функций на выбор которых наложено лишь одно ограничение

и пусть функции и уравнения Гамильтона—Якоби (1) могут быть представлены соотношениями (7). Докажем, что в этом случае переменные в уравнении Гамильтона—Якоби (1) разделяются. Действительно, на основании соотношения (5)

где — произвольные постоянные. Учитывая (7) и последнее соотношение, (1) можно представить в виде

Последнее авнен не тождественно удовлетворяется, если принять

Тогда

и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (1) принимает вид

Рассмотрим частный случай теоремы Штеккеля. Пусть функции таковы, что

т. е. все элементы определителя

кроме элементов его главной диагонали и элементов первой строки и первого столбца, тождественно равны нулю.

Вычислим алгебраическое дополнение элемента строки первого столбца

Последнее получается, как известно, путем вычеркивания в строки и первого столбца с последующим вычислением получившегося определителя порядка и "умножением его на

Заметив, что в определителе минора столбец содержит лишь один отличный от нуля элемент разложим определитель минора по элементам этого столбца:

Выберем теперь ненулевые функции следующим образом:

Тогда

Если функции также выбрать следующим образом:

то соотношения (7) примут вид

Полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби (1) с этими значениями т. е. уравнения

можно получить из (8), заменив функции и Ф.. Однако найдем его непосредственно из (10). После очевидных преобразований (10) примет вид

где каждое выражение, заключенное в скобки, зависит лишь от одной переменной. Последнему уравнению можно удовлетворить, если положить

причем постоянных подчинены условию

Тогда

и полный интеграл примет вид

За независимые произвольные постоянные можно выбрать, например, Тогда постоянную в полном интеграле следует заменить ее значением

Этот случай интегрируемости уравнений движения системы с степенями свободы был найден Лиувиллем и известен в литературе как случай Лиувилля.

Как пример применения приведенных выше результатов найдем полный интеграл задачи движения материальной точки в однородном поле силы тяжести по поверхности гиперболического параболоида, уравнение которого в декартовых координатах

Вычислим кинетическую энергию материальной точки, принимая за обобщенные координаты

где — масса материальной точки. Согласно (12)

Поэтому

и

При сделанном выборе обобщенных координат переменные не разделяются. Перейдем к другим переменным связанным с декартовыми координатами соотношениями

Кинетическая энергия в этих координатах имеет вид

а силовая функция

Найдем обобщенные импульсы:

Разрешив последние соотношения относительно выведем функцию Гамильтона:

Если принять

то функция Гамильтона задачи получит вид (10).

Тогда полный интеграл соответствующего уравнения Гамильтона—Якоби, т. е. уравнения

в соответствии с (11) представляется так:

где — постоянная энергии.

Итак, искомый полный интеграл найден.