§ 5. Теорема Нетер

Теорема. Пусть задано бесконечно малое преобразование

конечной группы Если функции Лагранжа и удовлетворяют условию

по отношению к преобразованию (26) и, кроме того, позволяют получить одни и те же уравнения движения, то существует

линейно независимых первых интегралов уравнений Лагранжа вида

где

Доказательство теоремы Нетер вытекает из общей формулы для вариации действия в форме (14). Действительно, если интеграл (4) инвариантен в смысле (19), то его вариация, отвечающая преобразованию (26), согласно (21) удовлетворяет условию

Затем, заменяя его выражением (14), получаем

Так как интервал интегрирования произволен, а независимы между собой, то вдоль действительной траектории имеем

или

Таким образом, получено линейно независимых первых интегралов (27) уравнений Лагранжа (15). Теорема Нетер доказана. В случае первый интеграл можно представить в виде

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Материальная точка массой движется по прямой в однородном силовом поле. Функция Лагранжа имеет вид

где

Бесконечно малое преобразование оставляет инвариантным в смысле (19) интеграл (4), так как из уравнения (22)

откуда и по теореме Нетер имеем первый интеграл вида (28), а именно:

Пример 2. Рассмотрим одномерное движение системы, состоящей из свободных материальных точек массами и функцией

Лагранжа

При бесконечно малом преобразовании группы Галилея

вариации скоростей равны

Тогда

и уравнение (22) принимает вид

т. е.

Здесь интеграл (4) также инвариантен в смысле (19). С помощью соотношения (28) получаем первый интеграл уравнений движения

Кроме того, в этом случае действует закон сохранения количества движения системы

Пусть — координата центра масс:

где — масса всей системы.

Тогда закон сохранения (29) принимает форму закона движения центра масс системы:

Пример 3. Свободная материальная точка массой движется в трехмерном пространстве. Функция Лагранжа

Здесь — декартовы координаты.

Рассмотрим полную группу движений в трехмерном евклидовом пространстве:

где являются компонентами антисимметричной матрицы, определяющей бесконечно малые вращения относительно осей декартовой системы координат:

Обозначим параметры, определяющие бесконечно малые сдвиги вдоль координатных осей;

Тогда преобразование (30) с учетом (31) и введенных обозначений примет вид

Преобразование (32), очевидно, является бесконечно малым преобразованием группы движений в трехмерном пространстве, зависящей от шести параметров. Легко проверить, что при преобразовании (32) левые части уравнений (23) равняются нулю, следовательно,

По теореме Нетер имеем шесть независимых первых интегралов вида (27), а именно:

Первые три интеграла представляют закон сохранения количества движения, а остальные три — закон сохранения кинетического момента.

Пример 4. Колебательная система с одной степенью свободы движется в среде с сопротивлением; предполагается, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости: где Р — коэффициент сопротивления. Уравнение движения системы

Кинетическая энергия потенциальная энергия с — коэффициент упругости.

В данном случае существует непотенциальная сила сопротивления, однако можно ввести функцию Лагранжа следующим образом: умножим обе части (33) на и представим (33) в виде

Поскольку

то, обозначив из уравнения (33) получим уравнение движения Лагранжа (15).

Таким образом, в данном случае действие непотенциальной силы учитывается путем замены функции Лагранжа другой функцией

Обозначив

представим в виде

Уравнение движения системы имеет вид

Рассмотрим преобразование

Учитывая, что подставляя эти значения в уравнение (22), находим

Из формулы (28) получаем первый интеграл

Он играет ту же роль, что и интеграл энергии для консервативной системы.

Примечание. Следует иметь в виду, что некоторые авторы в литературе называют теоремой Нетер менее общую теорему: если задано бесконечно малое преобразование конечной группы оставляющее действие инвариантным в обычном смысле (18), то существует линейно независимых первых интегралов.

Очевидно, что класс преобразований, рассматриваемых в этой формулировке, является частью класса преобразований симметрии.

Теорему, доказанную в этом параграфе, иногда называют обобщенной теоремой Нетер.