§ 3. Вывод уравнений движения из принципа Гамильтона—Остроградского и некоторые замечания о функции Лагранжа
Как известно, принцип Гамильтона—Остроградского предполагает вариации переменных специального вида, при которых:
1) область интегрирования не изменяется, т. е. 
2) вариации координат равняются нулю на границе области интегрирования:
Для вариаций подобного вида из (14) следует, что
Принцип Гамильтона Остроградского требует равенства нулю вариации действия вдоль истинной траектории:
Так как область интегрирования произвольна, а вариации координат независимы между собой, то из равенства нулю интеграла
получаются уравнения движения в форме Лагранжа:
Для дальнейшего изложения важно заметить, что выбор функции Лагранжа 
в интеграле (4), приводящей к данной системе уравнений движения, неоднозначен, т. е. существуют различные функции 
приводящие к одним и тем же уравнениям движения. Покажем, что если интегралы
приводят к одной и той же системе уравнений движения, то 
и должны быть связаны соотношением
где 
— произвольная функция переменных 
Обозначим разность функций Лагранжа 
Для функции 
уравнения Лагранжа (15)
должны тождественно удовлетворяться по всем переменным. Приведем эти уравнения в развернутой форме:
Поскольку это — тождества, то коэффициенты при 
равны нулю, т. е.
поэтому функция 
должна иметь вид
Тогда уравнения (15) переходят в соотношения
и поскольку они являются тождествами, то
Из этих условий следует, что выражение 
т. е. 
является, полным дифференциалом некоторой функции 
а поэтому
Соотношение (16) является не только необходимым, но и достаточным условием того, что функции 
и 
позволяют получить одни и те же уравнения движения, в чем легко убедиться непосредственным вычислением; для этого достаточно показать, что
Имеем
и тождество (17) доказано.
