§ 10. Системы дифференциальных уравнений движения, не имеющие интегральных инвариантов

Из § 2 и 7 этой главы следует, что если движение механической системы нельзя описать с помощью канонических уравнений Гамильтона, т. е. если силы, действующие на нее, не являются консервативными, то выражение не является инвариантом и зависит от времени.

Рассмотрим два примера движений подобного рода.

Пример 1. Пусть движение механической системы с одной степенью свободы является затухающим колебанием и описываается, следовательно, дифференциальным уравнением

где Решение этого уравнения имеет вид

Введем те же, что и в § 5, зависимости (7) постоянных интегрирования от параметров и а:

Если по-прежнему рассматривать кинетическую энергию в виде

то обобщенный импульс

Вычисляя теперь имеем

Пример 2. Если же движение механической системы описывается уравнением

где с решением

то легко получить

Результаты (20) и (22) отличаются от соответствующего результата (8) § 5 только множителем или Таким образом, при неограниченном

возрастании времени в примере 1 уменьшается до нуля, а в примере неограниченно возрастает. Следовательно, трубка фазовых траекторий, внутри которой располагаются все возмущенные малыми изменениями начальных условий фазовые траектории, в примере 1 сужается к точке, а в примере 2 — неограниченно расширяется. Это связано с тем, что затухающее колебание в природе 1 устойчиво, в то время как колебание с возрастающей амплитудой в примере 2 представляет собой неустойчивое движение.