§ 10. Системы дифференциальных уравнений движения, не имеющие интегральных инвариантов
Из § 2 и 7 этой главы следует, что если движение механической системы нельзя описать с помощью канонических уравнений Гамильтона, т. е. если силы, действующие на нее, не являются консервативными, то выражение не является инвариантом и зависит от времени.
Рассмотрим два примера движений подобного рода.
Пример 1. Пусть движение механической системы с одной степенью свободы является затухающим колебанием и описываается, следовательно, дифференциальным уравнением
где
Решение этого уравнения имеет вид
Введем те же, что и в § 5, зависимости (7) постоянных интегрирования
от параметров
и а:
Если по-прежнему рассматривать кинетическую энергию в виде
то обобщенный импульс
Вычисляя теперь
имеем
Пример 2. Если же движение механической системы описывается уравнением
где
с решением
то легко получить
Результаты (20) и (22) отличаются от соответствующего результата (8) § 5 только множителем
или
Таким образом, при неограниченном
возрастании времени
в примере 1 уменьшается до нуля, а в примере неограниченно возрастает. Следовательно, трубка фазовых траекторий, внутри которой располагаются все возмущенные малыми изменениями начальных условий фазовые траектории, в примере 1 сужается к точке, а в примере 2 — неограниченно расширяется. Это связано с тем, что затухающее колебание в природе 1 устойчиво, в то время как колебание с возрастающей амплитудой в примере 2 представляет собой неустойчивое движение.