Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Внешние дифференциальные формыФормы, которые здесь рассмотрены, это — выражения, стоящие под знаком кратного интегрирования, причем в этих выражениях дифференциалы рассматриваются как переменные [6]. Например, по линейному интегралу Рассмотрим замену переменных в кратных интегралах, считая, что интегралы всегда ориентируемы и, следовательно, что Якобиан никогда не берется по абсолютному значению, а всегда имеет знак; на таком примере рассмотрим интеграл
имеем
откуда
Если Это обосновывает правило умножения дифференциалов в нашем исчислении [такое умножение назовем внешним умножением дифференциалов и введем для его обозначения знак
Сложение внешних дифференциальных форм, умножение на функциюПусть
где
Степень формы Форму, все коэффициенты которой равны нулю, называют нулевой и обозначают символом любую функцию и:
Каждая форма первой степени представляет собой выражение вида
Пусть дана функция Пусть даны две внешние формы
Суммой их называем внешнюю форму
Произведением внешней формы со
Отметим некоторые свойства введенных операций над внешними формами, непосредственно следующие из определения: 1. Множество всех внешних форм степени 2. Пусть со, со
Операция умножения внешних формОбозначим 1) 2) для любых
3) если а — такая перестановка, что существует пара индексов Число Любая перестановка может быть получена как суперпозиция конечного числа транспозиций. Если Каждой паре внешних дифференциальных форм со Пусть
где Пусть
Внешним произведением базисных форм назовем выражение
Пусть теперь
Произведением форм
Форма
Из определения произведения внешних форм непосредственно вытекают следующие его свойства: 1. Умножение внешних форм дистрибутивно относительно сложения
каковы бы ни были формы 2. Внешнее умножение дистрибутивно относительно умножения внешней дифференциальной формы на функцию
3. Внешнее умножение ассоциативно, т. е. для любых форм
4. Для любых форм
Отметим некоторые следствия, которые вытекают из этих свойств. Следствие I. Пусть Тогдз Действительно, из свойства 4 следует, что для любых двух форм со и Следствие 2. Пусть
где
Действительно, из определения произведения внешних форм следует
Если последовательность
где
Очевидно, сумма справа есть определитель Операция внешнего дифференцированияПусть
Предположим теперь, что
Дифференциалом формы
Справа имеется внешняя форма, получаемая из формы Пусть
тогда
Свойства внешнего дифференцирования: 1. Для любых форм
Форму со назовем мономом, если она имеет вид Каждая внешняя форма есть сумма конечного числа мономов. 2. Пусть со — форма класса
3 Для любых двух форм
4. Первая теорема Пуанкаре. Для всякой формы
Пример. Найти внешний дифференциал внешней дифференциальной формы первой степени
Дифференциальную форму Обратное утверждение верно только при некоторых ограничениях, которые даются во второй теореме Пуанкаре. Прежде чем привести ее, введем некоторые понятия, Пусть Открытые множества Пример. Открытый шар
осуществляет диффеоморфизм Вторая теорема Пуанкаре: пусть Операция внутреннего умноженияПусть со
и пусть
Внутренним произведением формы со по векторному полю
где а — перестановка; индексов Рассмотрим внешние дифференциальные формы второй степени:
Для форм второй степени выражение для внутреннего произведения примет вид
Пример.
Если
Если взять внутреннее произведение формы Обозначим частные производные внешней дифференциальной формы
и введем формальное правило для их нахождения. Производной от формы 1) перенесение 2) замена Из этого определения сразу следует, что производная от монома, не содержащего Пример.
|
1 |
Оглавление
|