§ 2. Внешние дифференциальные формы

Формы, которые здесь рассмотрены, это — выражения, стоящие под знаком кратного интегрирования, причем в этих выражениях дифференциалы рассматриваются как переменные [6]. Например, по линейному интегралу получаем -форму по интегралу по поверхности получаем -форму

Рассмотрим замену переменных в кратных интегралах, считая, что интегралы всегда ориентируемы и, следовательно, что Якобиан никогда не берется по абсолютному значению, а всегда имеет знак; на таком примере рассмотрим интеграл с заменой переменных

имеем

откуда

Если то определитель равен нулю, если переставить местами х и у, определитель изменит знак.

Это обосновывает правило умножения дифференциалов в нашем исчислении [такое умножение назовем внешним умножением дифференциалов и введем для его обозначения знак

Сложение внешних дифференциальных форм, умножение на функцию

Пусть — произвольное открытое множество в пространстве . В общем, внешней дифференциальной формой степени (-формой) на множестве называется выражение, формально представляемое в виде

где — вещественные функции, определенные в области индексы имеют все возможные значения, удовлетворяющие неравенствам под знаком . Возможен и другой вид -формы:

Степень формы обозначается символом Функции называют коэффициентами формы. Форму для которой а остальные коэффициенты равны нулю, обозначаем символом . Формы называют базисными внешними формами степени

Форму, все коэффициенты которой равны нулю, называют нулевой и обозначают символом . Формой нулевой степени назовем

любую функцию и: Из определения, очевидно, следует, что любая форма степени имеет вид

Каждая форма первой степени представляет собой выражение вида

Пусть дана функция Тогда считаем, что где — целое число, если функция в случае имеет в все частные производные порядка причем эти производные непрерывны в пространстве . В случае условие означает, что непрерывна в Вместо в этом случае употребляем С. Пусть — внешняя дифференциальная форма степени , определенная в Тогда считаем, что принадлежит классу когда каждый из ее коэффициентов принадлежит классу

Пусть даны две внешние формы степени

Суммой их называем внешнюю форму

Произведением внешней формы со на вещественную функцию является внешняя форма

Отметим некоторые свойства введенных операций над внешними формами, непосредственно следующие из определения:

1. Множество всех внешних форм степени образуют абелеву группу относительно операции сложения.

2. Пусть со, со — произвольные формы, причем — произвольные вещественные функции. Тогда выполняются следующие равенства:

Операция умножения внешних форм

Обозначим отрезок натурального ряда. Перестановкой ранга называют любое взаимно однозначное отображение Любой перестановке а, можно сопоставить число таким образом, что:

1) для любой перестановки а;

2) для любых

3) если а — такая перестановка, что существует пара индексов где для которой при то (перестановки вида, указанного в условии 3, называют транспозициями).

Число называют сигнатурой перестановки а. Перестановку а называют четной, если и нечетной, если

Любая перестановка может быть получена как суперпозиция конечного числа транспозиций. Если — число транспозиций, которые необходимы для того, чтобы получить перестановку , то .

Каждой паре внешних дифференциальных форм со степеней и соответственно, можно сопоставить некоторую третью дифференциальную форму называемую внешним произведением форм Определим сначала внешнее произведение для базисных форм.

Пусть — любая последовательность индексов, таких, что Тогда символом обозначим внешнюю дифференциальную форму степени определенную следующим образом. Если среди чисел есть два одинаковых, то полагаем же числа — попарно различны, то справедливо равенство

где произвольная перестановка индексов

Пусть обозначают базисные формы:

Внешним произведением базисных форм назовем выражение

Пусть теперь — произвольные внешние формы

Произведением форм называют форму

Форма получается, если формально перемножить выражения (а) и (б) как обычные многочлены, вычисляя произведения базисных внешних форм в соответствии с указанным выше правилом.

Из определения произведения внешних форм непосредственно вытекают следующие его свойства:

1. Умножение внешних форм дистрибутивно относительно сложения

каковы бы ни были формы так что

2. Внешнее умножение дистрибутивно относительно умножения внешней дифференциальной формы на функцию

3. Внешнее умножение ассоциативно, т. е. для любых форм

4. Для любых форм выполняется равенство

Отметим некоторые следствия, которые вытекают из этих свойств.

Следствие I. Пусть — формы первой степени, — произвольная перестановка.

Тогдз

Действительно, из свойства 4 следует, что для любых двух форм со и степени Поэтому при перестановке любых двух соседних сомножителей произведение умножается на —1. По известным свойствам перестановок из этого следует, что рассматриваемое равенство верно, если а — транспозиция, и, значит, оно верно для любой перестановки.

Следствие 2. Пусть внешние формы первой степени, где их линейные комбинации. Тогда

где

Действительно, из определения произведения внешних форм следует

Если последовательность где является перестановкой последовательности то среди индексов есть одинаковые, откуда следует, что Если же индексы — попарно различны, то они образуют перестановку последовательности и

где — сигнатура указанной перестановки. Отсюда

Очевидно, сумма справа есть определитель что и требовалось доказать.

Операция внешнего дифференцирования

Пусть — внешняя форма нулевой степени на множестве принадлежащая классу — вещественная функция класса , определенная в . Дифференциалом формы называют внешнюю дифференциальную форму со первой степени, определенную равенством

Предположим теперь, что — произвольная внешняя дифференциальная форма класса степени

Дифференциалом формы называется внешняя форма степени определенная равенством

Справа имеется внешняя форма, получаемая из формы заменой каждого из ее коэффициентов его дифференциалом слагаемые заменяются произведением внешних форм первой степени на базисные формы степени

Пусть — произвольная базисная форма. Тогда все ее коэффициенты постоянны в следовательно, — форма первой степени:

тогда

Свойства внешнего дифференцирования:

1. Для любых форм класса

Форму со назовем мономом, если она имеет вид

Каждая внешняя форма есть сумма конечного числа мономов.

2. Пусть со — форма класса — вещественная функция класса Тогда

3 Для любых двух форм класса С

4. Первая теорема Пуанкаре.

Для всякой формы класса

Пример. Найти внешний дифференциал внешней дифференциальной формы первой степени

Дифференциальную форму называют замкнутой, если Дифференциальную форму называют точной, если существует дифференциальная форма такая, что Если дифференциальная форма на открытом множестве является точной, то она замкнута.

Обратное утверждение верно только при некоторых ограничениях, которые даются во второй теореме Пуанкаре. Прежде чем привести ее, введем некоторые понятия, Пусть — открытое множество в Отображение называют диффеоморфным или диффеоморфизмом класса если взаимно однозначно, принадлежит классу и в каждой точке якобиан отображения отличен от нуля. Если диффеоморфизм класса то множество открытое, и обратное отображение также есть диффеоморфизм того же класса.

Открытые множества называют диффеоморфными класса если существует диффеоморфное отображение класса одного из этих множеств на другое.

Пример. Открытый шар диффеоморфен пространству Отображение

осуществляет диффеоморфизм

Вторая теорема Пуанкаре: пусть открытое множество — дифференциальная форма степени Тогда, если принадлежит классу где область диффеоморфна, класса пространству в то существует форма такая, что

Операция внутреннего умножения

Пусть со — произвольная внешняя дифференциальная форма степени

и пусть — векторное поле на многообразии

Внутренним произведением формы со по векторному полю назовем выражение

где а — перестановка; индексов знак над индексом означает, что соответствующий член пропущен.

Рассмотрим внешние дифференциальные формы второй степени:

Для форм второй степени выражение для внутреннего произведения примет вид

Пример.

Если то

Если взять внутреннее произведение формы на то из определения внутреннего произведения следует, что можно рассматривать внутреннее умножение формы на внешней алгебре как аналог частного дифференцирования по причем последовательные частные производные зависят от порядка дифференцирования.

Обозначим частные производные внешней дифференциальной формы на обычными символами:

и введем формальное правило для их нахождения.

Производной от формы на назовем результат двух операций:

1) перенесение на первое место в мономах формы;

2) замена единицей.

Из этого определения сразу следует, что производная от монома, не содержащего равна нулю.

Пример.