§ 5. Вариации определенных интегралов от динамических функций

Рассмотрим интеграл в пределах вдоль некоторой траектории системы, подынтегральная функция которого зависит от Пусть в свою очередь эти переменные являются функциями параметра а, от которого зависит положение траектории на трубке траекторий, т. е. интеграл вида

Величина этого интеграла, таким образом, зависит от значения параметра а.

Положим, что имеется необходимость сравнить величину этого интеграла с его величиной по траектории, бесконечно близкой к данной траектории. Для этого необходимо вычислить приращение величины интеграла при переходе от одной траектории к другой, т. е. вычислить вариацию данного интеграла:

Применим правила интегрального исчисления, согласно которым операция дифференцирования интеграла по параметру выполняется соответственно тому, зависит или нет переменное а следовательно, и пределы от параметра а.

Рассмотрим сначала случай, когда не зависят от параметра а. Это означает, что является изохронной вариацией интеграла.

Подынтегральная функция представляет собой при заданных функциях некоторую функцию . Следовательно,

Тогда, согласно известной теореме интегрального исчисления, производная по параметру а от определенного интеграла должна равняться интегралу в тех же пределах от производной по параметру от подынтегральной функции, т.е. в этом случае (13) примет вид

В случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра а при дифференцировании по параметру получаем следующую формулу:

На основании (14) и (15) нетрудно составить выражения вариаций интеграла в обоих случаях. Используя первоначальные обозначения, имеем

Формулу для полной вариации интеграла можно преобразовать, учитывая что

Следовательно,