§ 2. Задача Морера. Условия Морера и их обобщения Леви-Чивитой и Форбатои

Случаи интегрируемости уравнения Гамильтона—Якоби в квадратурах, изложенные выше, были получены благодаря гениальной интуиции их авторов и, естественно, не решали

проблемы интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби в общем случае. Штеккель отмечал позже, что он дал только один класс дифференциальных уравнений Гамильтона—Якоби с переменными, интегрируемых в квадратурах. Поэтому продолжался поиск других случаев интегрируемости уравнения Гамильтона — Якоби.

К концу прошлого столетия в теории интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби методом разделения переменных сложились два направления, основоположниками которых можно считать итальянского математика Морера и русского математика В. Г. Имшенецкого.

В 1887 г. Морера (содержание этой его работы можно найти в статье Н. Салтыковой) установил, что переменные в уравнении Гамильтона—Якоби склерономной системы с двумя степенями свободы разделяются, если функция Гамильтона Н удовлетворяет условию

или условию, полученному из (13) перестановкой индексов 1 и 2. Он поставил задачу — проинтегрировать условие (13) и получить общий вид функции Я, допускающей разделение переменных в соответствующем уравнении Гамильтона—Якоби.

В 1904 г. Леви-Чивита обобщил условия Морера на случай склерономной системы с произвольным числом степеней свободы Форбат распространил условия -Леви-Чивиты на случай реономных систем. Получим эти условия.

Предположим, что переменные в уравнении Гамильтона—Якоби реономной механической системы с степенями свободы

разделяются, т. е. что полный интеграл уравнения (14) имеет вид

Тогда

Из (15) находим, предполагая, что

Следовательно,

После несложных преобразований условия (17) примут вид

В таком виде их получил Форбат. Если Н явно от времени не зависит, то (19) тождественно удовлетворяются и имеем условия, полученные Леви-Чивитой.

Следовательно, задачу Морера (в обобщенном — в соответствии с обобщением условий — варианте) можно сформулировать следующим образом: проинтегрировать условия Морера—Леви-Чивиты—Форбата и найти общий вид функции Гамильтона , допускающей разделение переменных в уравнении (14).

Задача эта является нелегкой. Действительно, условия (18) содержат различных уравнений (перестановка индексов и не изменяет соответствующее условие). Поэтому условия (18) и (19) содержат

различных уравнений в частных производных второго порядка относительно функции Я, зависящей от переменных

Если функцию Гамильтона

подставить в условия Морера—Леви-Чивиты—Форбата (18) и (19), то они перейдут в полиномы соответственно четвертой и третьей степени относительно импульсов Так как независимые постоянные в произвольны, то условия (18) и (19) удовлетворяются лишь в том случае, если коэффициенты этих полиномов равняются нулю. Очевидно, что эти коэффициенты будут функциями и их частных производных первого и второго порядков.

Таким образом, задача Морера сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно неизвестных функций

Однако интегрирование этой системы уравнений оказалось очень сложной задачей и было выполнено в случае склерономных систем для

Стало очевидным, что решить задачу Морера для случая реономных систем и произвольного указанным выше путем практически невозможно. Необходимо было найти другой путь решения этой задачи.